Ar amallar ham tushuniladi

1-ma'ruza. Gruppalar nazariyasiga kirish
Sonlar to‘plami va ularda aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallari algebraik sistemalarga eng dastlabki misollar bo‘la oladi. Masalan, natural, butun, rat-sional, haqiqiy va kompleks sonlar to‘plami qo‘shish va ko‘paytirish amallari bilan birgalikda algebraik sistema tashkil qiladi. Lekin barcha sonlar to‘plami ham ushbu amallarga nisbatan algebraik sistema bo‘lavermaydi, masalan manfiy son-lar to‘plami ko‘paytirish amaliga nisbatan algebraik sistema emas, chunki ikkita manfiy sonning ko‘paytmasi musbat son bo‘ladi. Shuningdek, irratsional sonlar to‘plami qo‘shish amaliga nisbatan algebraik sistema bo‘lmaydi, chunki ikkita irratsional sonning yig‘indisi ratsional son bo‘lib qolishi mumkin. Haqiqiy son-lar ustidagi qo‘shish va ko‘paytirish amallari binar amallar hisoblanib, gruppa tushunchasi ham biror to‘plamda aniqlangan binar amal yordamida kiritiladi. Umiman olganda algebraik amal deganda nafaqat binar amal, balki n-ar amallar ham tushuniladi.
1.1 Binar amal, yarim gruppa, monoid va gruppalar
Bizga bo‘sh bo‘lmagan A to‘plam va A × A dekart ko‘paytma berilgan bo‘lsin. A × A dekart ko‘paytmani A to‘plamga o‘tkazuvchi ∗ : A × A → A asklantirish berilgan bo‘lsa, u holda A to‘plamda binar amal aniqlangan deyiladi. Ushbu (A, ∗) juftlikka esa algebraik sistema yoki gruppoid deb ataladi. Odatda (a, b) elementning bu akslantirishdagi qiymati a ∗ b, a · b yoki ab kabi belgilanadi.
1.1-misol.
• Bizga biror A to‘plam berilgan bo‘lib, ushbu to‘plamdan olingan ixtiyoriy x va y elementlar uchun x ∗ y = x ko‘rinishda aniqlangan ∗ amali binar amal bo‘ladi.
• N natural sonlar to‘plamida quyidagi amallar binar amal bo‘ladi:
+, ·, max, min, EKUB, EKUK,
ya’ni qo‘shish, ko‘paytirish, ikki sonning maksimumi, minimumi, eng katta umumiy bo‘luvchisi va eng kichik umumiy karralisi.
• Z butun sonlar to‘plamida qo‘shish (+) va ko‘paytirish (·) amallari binar amal bo‘ladi.
• [a, b] kesmada uzluksiz bo‘lgan barcha funksiyalar fazosi C[a, b] da ixtiyoriy f, g ∈ C[a, b] funksiyalar uchun (f ◦ g)(x) = f(g(x)) kabi aniqlangan amal binar amal bo‘ladi.
1.1-ta’rif. Agar (S, ∗) algebraik sistemada ixtiyoriy a, b, c ∈ S elementlar uchun assosiativlik xossasi, ya’ni
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda (S, ∗) algebraik sistemaga yarim gruppa deyiladi.
1.2-misol.
• (N, +), (N, ·), (Z, ·) algebraik sistemalar yarim gruppa bo‘ladi.
• A to‘plamda olingan ixtiyoriy x, y elementlar uchun ∗ amali x ∗ y = x ko‘rinishda aniqlangan bo‘lsa, (A, ∗) algebraik sistema yarim gruppa bo‘ladi.
1.2-ta’rif. Agar (M, ∗) yarim gruppada shunday e ∈ M element mavjud bo‘lib, ixtiyoriy a ∈ M element uchun
e ∗ a = a ∗ e = a
tenglik bajarilsa, u holda (M, ∗) yarim gruppaga monoid deyiladi. Ushbu e ele-mentga esa birlik element deb ataladi.
1.3-misol.
• (Z, ·), (N, ·), (Z, +) algebraik sistemalar monoid tashkil qiladi.
• (M_n(R), +) – elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan n-tartibli kvadrat matritsalar to‘plami, matritsalarni qo‘shish amaliga nisbatan monoid tashkil qiladi.
• (M_n(R), ·) – elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan n-tartibli kvadrat matritsalar to‘plami, matritsalarni ko‘paytirish amaliga nisbatan monoid tashkil qiladi.
Endi asosiy tushuncha hisoblangan gruppaning ta’rifini keltiramiz.

1.3-ta’rif. Agar (G, ∗) monoid berilgan bo‘lib, ixtiyoriy a ∈ G element uchun