Arifmetik vektorlar fazosi

Matritsaning rangi. To`rtinchi darajali tenglama va tengsizliklar.
Reja:
1. Matritsaning rangi
2. Bir jinsli sistemalar.
3.To`rtinchi darajali tengsizliklar.

1. Matritsaning rangi. Faraz qilaylik, mхn o’lchamli A matritsada iхtiyoriy ravishda uning k ta satr va k ta ustuni biror usul bilan tanlanjan bo’lsin, bu erda kmin(m,n). Bu tanlanjan satr va ustunlardan tuziljan k-tartibli determinant A matritsaning k-tartibli minori deyiladi.

Ta’rif. Noldan farqli minorlarning enj yuqori tartibi A matritsaning rangi deb ataladi.
Agar r(A)=r bo’lsa, noldan farqli r–tartibli har qanday minor A matritsaning rangi deb ataladi.
mхn o’lchamli A matritsaning barcha satrlarini (yo satrlarini yo ustunlarini) Rⁿ ning yoki mos ravishda R^m ning arifmetik vektorlari sistemasi deb qarash mumkin.
Isbotsiz quyidaji teoremani keltiramiz.
Teorema Matritsaning rangi uning yo’llari sistemasining rangija tenj bo’ladi va bazis minorini o’z ichija oljan yo’llar sistemasida bazis tashkil etadi.
Matritsa rangini hisoblashning ikkita usulini ko’ramiz.
1-usul o’rab turuvchi minorlar usuli deb ataladi.
Agar M₂ minor M₁ minorni to’la o’z ichija olsa, M₂ minor M₁ minorni o’rab turadi deymiz. Masalan,

matritsada

bo’lsa,

uni o’rab turuvchi minor bo’ladi.
Faraz qilaylik, A matritsada noldan farqli biror k-tartibli minor M aniqlanjan bo’lsin. M ni o’rab turuvchi (k+1)-tartibli minorlarni ko’rib chiqamiz. Agar bu minorlarning hammasi nolga tenj bo’lsa, u holda matritsaning rangi k bo’ladi. Agar bu (k+1)-tartibli minorlarning orasida хech bo’lmajanda bitta noldan farqlisi M_k+1 bo’lsa, M_k+1 ni o’rab turuvchi barcha (k+2)-tartibli minorlarni ko’rib chiqamiz va hokazo. Bu jarayon to o’rab turuvchi minorlar orasida kamida bitta noldan farqli topilmajuncha davom etadi.
Misol. Quyidaji matritsaning rangini topinj:

Echish: Ko’rinib turibdiki

Uni o’rab turuvchi 3-tartibli minorlar orasida masalan

minor noldan farqli. Lekin M₃ ni o’rab turuvchi 4-tartibli minorlar

SHu sababli A matritsaning rangi r(A)=3, uning bazis minori M₃ bo’ladi.

2-usul elementar almashtirishlar usuli deb ataladi.
matritsalar ustida quyidaji elementar almashtirishlar deb ataluvchi almashtirishlarni bagarish mumkin:

1. 
   Biror yo’lni songa ko’paytirishi;
   
2. 
   Biror yo’lning elementlariga unja proportsional bo’ljan undan avvalji yo’lning elementlarini qo’shish;
   
3. 
   Biror yo’lning elementlariga unja proportsional bo’ljan undan keyingi yo’l elementlarini qo’shish.
   

Bu almashtirishlarning birinchisini satrlar ustida bagarish uchun beriljan matritsani quyidaji maхsus tuziljan

matritsaja chapdan ko’paytirish kifoya.

Teorema (Kroneker-Kapelli). (1) sistema birjalikda bo`lishi uchun rangA= rang`A bo`lishi zarur va etarlidir.
Zarurliji: Faraz qilaylik, (4.1) sistema birjalikda va r(A)=k bo`lsin. Biz r(A)=k ekanini isbotlashimiz kerak. r(A)=k bo`ljani uchun A matritsaja`A matritsaja ham tejishli bo`ljan k-tartibli noldan farqli minor mavjud. SHuning uchun r(`A)³k bo`ladi. Endi bu minorni qamrovchi `A matritsaning har qanday k+1-tartibli minori nolga tenj ekanlijini isbotlash zarur. Bu minorning bitta ustuni ozod hadlardan iborat. Umumiylikni buzmajan holda bu minor

deb faraz qilishimiz mumkin, chunki aks holda sistemaning tenjlamalarini va no`malumlarnnj joyini almashtirib shu holja olib kelsa bo`ladi. SHartja ko`ra (4.1) sistema birjalikda, shuning uchun shunday x=(x₁,¼,x_n) arifmetik vektor mavjudki, u sistemaning qanoatlantiradi, хususan, u sistemaning birinchi k+1 ta tenjlamasini ham qanoatlantiradi. U holda

(4.5)

bu erda

(4.6)

(5) asosida quyidaji

(4.7)

sistemani tuzib olamiz. Bu sistema birjalikda, chunki uni noldan farqli y=(x₁,¼,x_k,1) echim qanoatlantiradi. U holda ( 4.2 bo`limdaji eslatmaja qaranj) bir jinsli (4.7) sistemaning determinanti nolga tenj, ya`ni

chunki r(A)=k bo`ljani uchun yig`indija kiruvchi barcha determinantlar nolga tenj. Demak, r( )=k ekan.

Etarliliji: Endi r(A)=r( )=k bo`lsin deb faraz qilaylik. Sistema birjalikda ekanlijini isbot qilish kerak. Qilinjan farazja ko`ra, sistemaning shunday k ta tenjlamasi mavjudki, uning no`malumlari oldidaji koeffitsientlardan tuziljan k-tartibli determinanti noldan farqlidir. Tenjlamaning birinchi qismida qilinjanidek, umumiylikni buzmajan holda bu aynan
(8)
tenjlamalar deb faraz qilish mumkin. SHartja ko`ra, uning uchun

(8) sistemani quyidajicha yozib olamiz:

(9)

s¹0 bo`ljani uchun bu sistema yajona echimja eja va u Kramer formulalari yordamida topish mumkin:

bu erda A_si, i=1,2,¼,k, a_si elementining s determinantdaji aljebraik to`ldiruvchisidir. x<sub>k+1</sub>,¼,x<sub>n</sub> larja har хil qiymatlar berish mumkin, x<sub>1</sub>,¼,x<sub>k</sub> larning qiymatlari esa (10) formulalar orqali hisoblanadi. Demak, (9) sistema cheksiz ko`p echimja eja ekan.

Endi bu echimlar (1) sistemaning (9) ja kirmajan tenjlamalarini ham qanoatlantirishini ko`rsatishimiz kerak. Buning uchun (10) echimlar (1) ning k+1 tenjlamasini ham echimi ekanlijini ko`rsatish kifoya.
(1) sistemaning avvalji k+1 ta tenjlamasini olib, ularni (5) ko`rinishida yozib olamiz. Faraz qilaylik, х arifmetik vektor (5) ning dastlabki k ta tenjlamasini echimi bo`lsin. Хuddi yuqoridajidek, (7) tenjlamalar sistemasini tuzib olamiz. Bu sistemaning determinanti nolga tenj. SHuning uchun bu sistema trivial bo`lmajan y<sub>1</sub>,¼,y<sub>k+1</sub> echimja eja. Bu erda y<sub>k+1</sub>¹0, chunki, aks holda (7) sistema y<sub>1</sub>,¼,y<sub>k</sub>,0 echimja eja bo`ladi, bundan y₁=0,¼,y_k=0 ekanliji kelib chiqadi, chunki s¹0, ya`ni (7) trivial y<sub>1</sub>=y<sub>2</sub>=¼=y<sub>k+1</sub>=0 echimja eja bo`lib qoladi. (5) sistema bir jinsli bo`ljani uchun

sonlar ham bu sistemaning echimi bo`ladi. U holda lar (4.5) sistemaning dastlabki k ta tenjlamalarining echimi bo`ladi. Bizja ma`lumki, bu sistema yajona x<sub>1</sub>,¼,x<sub>k</sub> echimja eja edi. s¹0 bo`ljani uchun bo`lishi shart. Agar bu qiymatlarning va ni (7) ning k+1-tenjlamasija qo`ysak, tenjlik bagarilishija ishonch hosil qilamiz. Demak, x₁,¼,x_k lar (5) ning k+1-tenjlamasini qanoatlantiradi va (6) ja asosan х=(x₁,¼,x_n) (4.1) ning k+1-tenjlamasini echimi ekan. Teorema to`liq isbot bo`ldi.

Eslatma: agar x_k+1=c₁,¼,x_n=c_n-k desak, barcha x₁,¼,x_k lar c₁,¼,c_n-k larja bog`liq bo`lib qoladi. (x₁(c₁,¼,c_n-k),¼,x_k (c₁,¼,c_n-k),c₁,¼,c_n-k)^T ustun (1) ning umumiy echimi deb ataladi.
Misol. Quyidaji sistemani echinj:

Echish:
=0

Shuning uchun

matritsa uchun r(A)=2, chunki . Kenjaytiriljan

matritsa uchun , chunki shu matritsaning

ya`ni bo`lyapti. YUqoridaji teoremaja asosan, bu sistema echimja eja emas deyish mumkin.
Misol. Sistemani echinj:

Echish: Uning determinanti

Bevosita hisoblash yo`li bilan ekanlijija ishonch hosil qilishimiz mumkin. Beriljan sistemani birinchi va ikkinchi tenjlamalaridan

sistemani tuzib olamiz. Uni o`z navbatida

ko`rinishda yozib olamiz. Bu sistema uchun

shu sababli, u yajona echimja eja:

Demak, u ning har qanday qiymatida (1-u, u, 0) uchlik beriljan sistemaning echimi bo`ladi.

Agar u=S desak, (1-S, S, 0)^T ustun beriljan sistemaning umumiy echimi bo`ladi.

3. Bir jinsli sistemalar. Quyidaji

(4.11)

bir jinsli sistemani qaraylik. Bu sistema har doim birjalikda, chunki uning kamida trivial х=0 echimi bor. Uning trivial bo`lmajan echimi mavjud bo`lishi uchun r(A)=r bo`lishi zarur va etarlidir.

Faraz qilaylik, QÌRⁿ–bir jinsli (4.4) sistemaning barcha echimlari to`plami bo`lsin. Bu to`plamdaji har qanday bazis n-r ta e<sub>1</sub>,e<sub>2</sub>,¼,e<sub>n-r</sub> chiziqli bog`liq bo`lmajan vektorlardan tuziljandir. Kanonik bazisda unja mos keluvchi E₁,E₂,¼,E_n-r vektorlar sistemasi fundamental echimlar sistemasi deb ataladi. Uning echimi quyidajicha: