Asosiy qism Qatorlar haqida tushuncha va ularning yaqinlashuvchiligi

3-teorema (B.Riman). Agar (10) qator shartli yaqinlashsa, istalgan haqiqiy A soni uchun bu qator hadlari o`rnini shunday almashtirish mumkinki, natijada hosil bo`lgan (9) qator yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi A ga teng bo`ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, (10) qator shartli yaqinlashsin. U holda, qator yaqinlashishining zaruriylik shartiga ko`ra, bu qatorning musbat hadlari ham, manfiy hadlari ham nolga intiladi.Shuning uchun qatorning musbat hadlarini kamayuvchi tartibda joylashturishimiz mumkin. Bunda hosil bo`lgan ketma-ketlikni orqali belgilaymiz.Xuddi shunga o`xshash ,manfiy hadlar absolyut qiymatlarini kamayuvchi tartibda joylashtirib , hosil bo`lgan ketma –ketlikni
orqali belgilaymiz.
1-tasdiq va 9.3.3-teoremaning natijasidan quyidagi munosabatlar kelib chiqadi:
, (27)
Endi A ixtiyoriy berilgan haqiqiy son bo`lsin . (10) qator hadlarini o`rnini quyidagi ravishda almashtiramiz .

1. 
   Dastlab musbat hadlarni shunday qo`shib boramizki, toki ularning yig`indisi
   

berilgan A dan oshsin.Bunga erishishimiz bilan, hosil bo`lgan yig`indidan sonlarni shunday ayirib boramizki, toki

kattalik A dan kichik bo`lsin. Madomiki (10) shart bajarilar ekan ,bu har ikki qadamni ham amalga oshirish mumkin.

2. 
   Ikkinchi qadamda yana musbat hadlarni shunday qo`shib boramizki,toki ularning umumiy yig`indisi
   

yana A dan oshib ketsin .So`ngra ,hosil bo`lgan yig`indidan

sonlarni shunday ayirib boramizki, toki

qiymat A dan kichik bo`lsin.

k) Bu jarayonni davom ettirib ,k-qadamda hosil qilingan yig`indiga musbat hadlarni shunday qo`shib boramizki, toki umumiy yig`indi berilgan A sondan oshib ketsin, so`ngra ,manfiy hadlarni shunday qo`shib (ya`ni larni ayirib) boramizki, tok umumiy yig`indi o`sha A sonidan kichik bo`lsin .
Albatta, bu jarayon hech qachon tugamaydi .Chunki har bir qadamda biz hech bo`lmasa bitta musbat va bitta manfiy hadni qo`shib borayapmiz va bunday hadlarning soni ,yuqorida ko`rsatganimizdek, cheksiz ko`pdir.Bu jarayon natijasida biz (10) qator hadlarining o`rni almashtirilgan yangi qatorga ega bo`lamiz.Mana shu yangi qatorning S(n) qismiy yig`indilari berilgan A soniga yaqinlashishini ko`rsatamiz .Ravshanki, hadlar o`rnini almashtirish jarayoniga asosan , k- qadamdan so`ng qismiy yig`indilar sonidan oshib ketmaydi va, xuddi shu kabi , dan kichik ham bo`lmaydi .Bundan chiqdi , bo`lganda quyidagi
(28)
qo`shaloq tengsizlik bajariladi.
Shartga ko`ra (10) qator shartli yaqinlashgani sababli ,bu qator hadlari nolga yaqinlashadi .Demak, (28) dan

munosabat kelib chiqadi, ya`ni hadlarining o`rni almashtirilgan qator avvaldan berilgan A soniga yaqinlashar ekan .
Eslatma. Xuddi yuqoridagi usul bilan shartli yaqinlashuvchi qatorni va ga intiladigan ,yoki bo`lmasa umuman limitga ega bo`lmaydigan qilib hadlarini o`rnini o`zgartirish mumkinligi ko`rsatiladi.