Asosiy qismida geometriyani o’rganishda: Evklidning “Negizlar” asari, geometriyaning aksiomatik qurilishi va uning ahamiyati, aksiomalar sistemasiga qo’yiladigan talablar

Faqat bitta xususiyat (uniqueness):

Agar a < b va b < a, u holda a = b.

Bu qonun batafsil tushunchasi, "a" soni "b" sonidan kichik bo'lsa va "b" soni "a" sonidan kichik bo'lsa, unda "a" va "b" sonlari teng bo'ladi.

• 
  
  Kommutativlik (commutativity):
  

Agar a < b, u holda b > a.

Bu qonun tushunchasi, "a" soni "b" sonidan kichik bo'lsa, unda "b" soni "a" sonidan katta bo'ladi.

• 
  
  Tranzitivlik (transitivity):
  

Agar a < b va b < c, u holda a < c.

Bu qonun tushunchasi, "a" soni "b" sonidan kichik bo'lsa va "b" soni "c" sonidan kichik bo'lsa, unda "a" soni "c" sonidan kichik bo'ladi.

• 
  
  Diskretlik (discreteness):
  

Har ikki sonning orasida bitta son mavjud. Bu qonun tushunchasi, har ikki sonning orasida bir xil bo'lmasligi, ya'ni har bir sonning o'ziga xos bo'lishi.

Gilbert aksiomlarining joriy qolgan qonuni "birlik xususiyati" deb ataladi. Bu qonun matematikaliy obyektlarni bitta yegindan yoki bitta a'zolikdan tashkil qilishni yordam beradi.
Gilbert aksiomlarining boshqa qonunlari esa matematikaliy obyektlarning to'g'ri o'lchashning, ajoyib o'lchashning yoki to'g'ri orqaga qaytarishning yordam berishiga oid. Misol uchun, ularning ikkinchi qonuni "to'g'ri chizish"ni, to'rtinchi qonuni esa "biror sonning barcha qiymatlari orasida o'zaro bog'lanishini" yordam beradi.
Gilbert aksiomlari, matematikning ko'p sohalarda yordam beradi.
Gilbert aksiomlarining boshqa qonunlari matematikdagi tushunchalar bilan bog'liqdir. Masalan, ularning ikkinchi qonuni "to'g'ri chizish"ni ifodalaydi, ya'ni bir nuqta yoki a'zoni o'ziga xos koordinatalar sistemasi orqali ko'rsatish mumkin bo'lgan nusxasi bor.

Ular uchun birinchi qonun tartiblash, ikkinchi qonun to'g'ri chizish, uchinchi qonun tranzitivlik va to'rtinchi qonun diskretlik aks etuvchi bo'lsa, ya'ni bitta aks holda ham xususiyatlar qabul qilinmaydi.

Gilbert aksiomlari ko'pgina tashqi yon ta'sirlardan oqilona, masalan, matematikda set teoriyasi, geometriya, matematik fizika va boshqa sohalardagi ko'rsatkichlarning formalizm tarzidagi shakllarini tushunishda yordam beradi.
Bundan tashqari, Gilbert aksiomlari matematikdagi ko'plab mantiqiy tuzilmalarni, so'zlama tizimlarini va boshqa matematikaliy modellarni tushunishga ham yordam beradi.
Gilbert aksiomlari, matematikning boshqa qonunlaridan farqli ravishda, barcha matematikaliy ob'ektlar uchun umumiy qonunlarni ifodalaydi. Bu aksiomlar, matematikdagi barcha ko'rsatkichlarning formalizm tarzidagi shakllarini ifodalaydi.