Asosiy qismida geometriyani o’rganishda: Evklidning “Negizlar” asari, geometriyaning aksiomatik qurilishi va uning ahamiyati, aksiomalar sistemasiga qo’yiladigan talablar

x*a(b + c) = ab.
Ushbu bosqichda biz hozirgacha ishlatilgan aksiomalarga aniq qo'shamiz, ya'ni. (I, 1), (I, 2), Il, Ill, bizning algebramizda komutativ qonun to'g'ri chiziqda ko'paytirish uchun amal qiladi degan taxmin. Keyin tenglama
ax (b + c) = ab
to'g'ri va shuning uchun segment ham tenglamani qondiradi
x (b + c) = b,
bu uchun f'p va B’D chiziqlarining parallelligini anglatadi.
Shunday qilib uchburchaklarning tomonlari F’PK va B’DL juft bo'lib parallel shunday qilib, Desargues taklifining teskarisiga ko'ra, nuqtalar O, K, L to'g'ri chiziqda yotish. F'GK va B'CL uchburchaklaridan
F’G ga B’C parallel ekanligi kelib chiqadi.
Olti burchakda BF'GG'CB’ nuqtalari B va G' o'zboshimchalik bilan tanlanishi mumkin, shuningdek yo'nalishlar
BF' ga CG’ parallel va BB’ ga GG’ parallel.
Shunday qilib, biz Paskalning ikkita to'g'ri chiziq bo'yicha taklifiga olib keldik ; va endi ko'paytirishning komutativ qonuni va Paskalning taklifi butun tekislik uchun ushlab turilishini osongina ko'rsatish mumkin.
Yangi taxminni kiritmasdan buni ko'rsatish mumkin emas edi
F'P B’Dga parallel;
ya'ni, Paskalning taklif edi.
Keling, ushbu natijalarni ikkita taklifda sarhisob qilaylik:
(1) Paskalning taklifini i, Il, Ill aksiomalari va ko'paytirishning komutativ qonuni, ya'ni muvofiqlik aksiomalaridan foydalanmasdan isbotlash mumkin.
(2) Paskal ning taklif aniq i orqali isbot mumkin emas, 11, kasal yolg'iz, ya'ni , muvofiqlik aniq va Arximed aksiomasi yordamida holda.
Desargues va Paskalning takliflariga asoslangan segmentlarning algebralari, unda barcha segmentlarning umumiyligi sanoq tizimi sifatida qaraladi, muallifni arifmetika tamoyillari bo'yicha munozaralarga qayta-qayta olib boradi.
Haqiqiy sonlar kombinatsiya va tartibning ma'lum qonunlariga va Arximed taklifiga bo'ysunadigan ob'ektlar tizimini tashkil qiladi. Professor Gilbert tomonidan sanab o'tilgan kombinatsiyaning o'n ikkita qonuni qo'shish, ko'paytirish, bo'linishga ishora qiladi va assotsiatsiya, taqsimot va kommutatsiya qonunlarini o'z ichiga oladi. Buyurtmaning to'rtta taklifi mavjud.