Asosiy qismida geometriyani o’rganishda: Evklidning “Negizlar” asari, geometriyaning aksiomatik qurilishi va uning ahamiyati, aksiomalar sistemasiga qo’yiladigan talablar

II BOB. GILBERTNING GEOMETRIYA ASOSLARI.

2.1. Geometriyada fazoviy (mavxum) obyektni tavsiflash

Bizning fazoviy sezgimizni tahlil qilish, tavsiflash va o’rganish geometriya faninining muhim ob'ekti hisoblanadi. Fazoviy sezgidan mavhumlik ob'ektlarning uchta tizimiga olib keladi: nuqtalar, to'g'ri chiziqlar va tekisliklar, ular bunday sezgi elementlari sifatida kosmosning har qanday tavsifi asosida yotishi kerak. Ta'riflar yordamida ushbu elementlar geometriya umumiy qonunlarni o'rnatishga intiladigan ma'lum korrelyatsiyalarga keltiriladi. Shu tarzda mantiqiy izchil takliflar tizimini olish uchun aksiomalar deb ataladigan ba'zi talablar elementlar o'rtasidagi barcha tasavvur qilinadigan o'zaro munosabatlar tomonidan qondirilishi kerak.

Geometriya aksiomalari orasida ikki turni ajratish mumkin: pozitsiya aksiomalari va kattalik aksiomalari. Aksiomalar darhol umumiy kuchga ega bo'lishi va bir-biridan mustaqil, yanada qisqartirilmaydigan va boshqasi bilan qarama-qarshi bo'lmagan takliflar tizimini shakllantirishi kerak. Faqat shunday aksiomalar asosida har qanday geometrik ta'rif mumkin; ya'ni ta'rif, agar u o'ychan bo'lsa, aksiomalardan uning haqiqiy tarkibga ega ekanligini ko'rsatish mumkin bo'lgandagina o'z ma'nosini oladi. Ushbu talablarga qo'shimcha ravishda aksiomalar tizimidan oddiy bo'lishi, boshqacha qilib aytganda, elementlar o'rtasidagi munosabatlarni o'rnatish va keskin cheklash uchun mumkin bo'lgan eng kam sonli takliflardan foydalanishni talab qilish mumkin, aksiomalarning hech biri ortiqcha emas, ya'ni. boshqalar har qanday. Aksiomalar tizimining to'liqligi talabining qo'shilishi faqat ma'lum maqsadga nisbatan ma'noga ega bo'ladi. Tizimdan ma'lum aksiomalarni (Professor Gilbert o'z tadqiqotlarida qayta-qayta qilganidek) ajratib olish va ular yordamida mantiqiy izchil tizimni tashkil etuvchi va hech qanday qarama-qarshiliklarga olib kelmaydigan geometriyani yaratish mumkin. Biroq, analitik geometriyaning asosini yaratish uchun zarur bo'lgan aksiomalarning to'liq tizimi nima ekanligini so'rash mutlaqo qonuniydir.
Evklidning geometriya tizimi har doim ikki nuqta bo'yicha e'tirozlarga ochiq bo'lgan: parallellik aksiomasini kiritish va nisbatlar va maydonlar haqidagi ta'limot. Ikkinchi nuqta, Evklid davridan beri deyarli takomillashtirilmagan bo'lsa-da, avvalgi tadqiqotlar qanchalik ko'p bo'lganligi ma'lum. Evklidning o'n birinchi aksiomasini uning boshqa aksiomalaridan chiqarish mumkinmi degan savolga nihoyat salbiy javob berildi, Evklid bo'lmagan geometriya Gauss, Lobachevskiy va Bolyay tomonidan qurilgan. Ko'p munozarali muammo bo'yicha eski bahs-munozaralarni yakuniy hal qilishga olib kelgan yangi usullar umuman aksiomalarni tekshirishga nisbatan butunlay yangi qarashlarga olib keldi. Ular Riemann, Helmholtz va Lie uchun geometriyani analitik asosda topishga imkon berishdi, bu usul Evkliddan juda farq qiladi. tomonidan konsey Ving kosmik raqamlar ko'p qirrali bo'lib, ushbu mualliflar bir qator geometrik aksiomalarni bir vaqtning o'zida ularni batafsil o'rganish zaruratisiz tasarruf etishadi. Ushbu analitik urinishlardan keskin farqli o'laroq, bizda Professor Veronese va Professor Gilbertning tadqiqotlari bor:
Evklid geometriyasi va undan tashqari analitik geometriya uchun tegishli asoslarni yaratish bizning muallifimizning maqsadi. Shunday qilib, uning tizimi kosmosni raqamlar manifoldu deb hisoblash mumkinligini yakuniy tan olish bilan o'z xulosasini topadi.
Yuqorida barcha aksiomalar beshta asosiy guruhga bo'linganligi to’g’risida yozgan edim. I guruh, birikmaning aksiomalarini (Verkniipfung) ikkita tekislik aksiomasini o'z ichiga oladi, ya'ni: (I, 1) har qanday ikki xil nuqta A va B to'g'ri chiziqni aniqlang a; (I, 2) to'g'ri chiziqning har qanday ikki xil nuqtasi bu chiziqni aniqlaydi; va beshta kosmik aksiomalar (the) faqat butun tizimning kosmik aksiomalari), ya'ni: (I, 3) bir xil to'g'ri chiziqda bo'lmagan har qanday uchta nuqta tekislikni aniqlaydi; (I, 4) bir xil to'g'ri chiziqda emas, balki tekislikning istalgan uchta nuqtasi ushbu tekislikni aniqlang; (I, 5) agar ikkita nuqta bo'lsa to'g'ri chiziq tekislikda yotadi, chiziqning har bir nuqtasi shu tekislikda yotadi; (I, 6) agar ikkita tekislikda umumiy nuqta bo'lsa, ular kamida bitta umumiy nuqtaga ega; (I, 7) har qanday to'g'ri chiziqda kamida ikkita nuqta mavjud, ichida har qanday tekislik to'g'ri chiziqda emas, kamida uchta nuqta va kosmosda tekislikda emas, kamida to'rtta nuqta.
Tartibli aksiomalarini (Anordnung) tashkil etuvchi 11-guruh to'g'ri chiziqdagi nuqtalar tartibi haqida to'rtta chiziqli aksiomani o'z ichiga oladi, masalan (11 , 3) to'g'ri chiziqdagi har qanday uchta nuqta orasida har doim bitta va faqat bittasi bor, bu qolgan ikkitasi o'rtasida joylashgan; va bitta samolyot aksiomasi, ya'ni: (11, 5) ruxsat bering A, B, C to'g'ri chiziqda emas, balki uchta nuqta bo'ling va A tekislikdagi to'g'ri chiziq ABC, nuqtalardan birortasini uchratmaslik A, B, C; keyin, agar chiziq bo'lsa a ichidagi nuqtadan o'tadi segment AB, u har doim segmentning bir nuqtasidan o'tadi BC, yoki segmentning bir nuqtasi orqali a C.
Ushbu aksiomalar to'g'ri chiziq cheksiz ko'p nuqtalarni o'z ichiga olganligini, tekislikni ikkita mintaqaga ajratishini, uning har qanday nuqtasi chiziqni ikkita yarim nurga bo'lishini ko'rsatish uchun etarli. Ko'pburchaklarni aniqlash mumkin bo'ladi va oddiy ko'pburchak tekislikni ikki mintaqaga ajratishini isbotlash mumkin. Burchakning quyidagi juda qulay ta'rifi bu erda o'z o'rnini topishi mumkin: burchak-bu tekislikda chiqadigan ikkita yarim nurlar tizimi a bir xil nuqtadan O va turli xil to'g'ri chiziqlarga tegishli. Burchakning ichki qismi har qanday ikkita ichki nuqtani birlashtirgan segmentni to'liq o'z ichiga olgan mintaqadir.
Evklidning parallellar aksiomasi (guruh kasal), uning kiritilishi poydevorlarni soddalashtiradi va geometriyani qurishni osonlashtiradi " shaklida berilgan: tekislikda a har doim nuqta orqali chizish mumkin A, to'g'ri chiziqda emas a, bitta va bitta to'g'ri chiziq bilan uchrashmaydi chiziq a.
To'rtinchi guruhda biz segmentlar va burchaklarning tengligi haqidagi aksiomalardan tashqari quyidagilarni topamiz: (IV, 6) agar ikkita uchburchak uchun ABC va A ' B ' C ' tengliklar

xaqiqatda esa, keyin moshlashuvlik

Shuni ta'kidlash kerakki, Professor Gilbertning ta'riflariga ko'ra, muvofiqlik va simmetriya dastlab farqlanmaydi.
Uyg'unlik aksiomalarining natijalari orasida diqqat barcha to'g'ri burchaklarning uyg'unligi uchun dalilga chaqirilishi mumkin, bu taklif Evklidda to'rtinchi postulat sifatida paydo bo'ladi. Hozirgacha aytib o'tilgan to'rtta aksioma guruhi fazoda, hatto Evklid bo'lmagan fazoda ham harakatni aniqlashga qanday xizmat qilishi aniq. Doira odatiy tarzda aniqlanadi.
V guruhini tashkil etuvchi Arximed aksiomasi (yoki uzluksizlik aksiomasi) barcha 8 chiziqli, 7 tekislik va 5 kosmik aksiomalarda mavjud bo'lgan tizimni to'ldiradi. Bu quyidagicha aytilgan: (V) ruxsat bering Al o'zboshimchalik bilan berilgan ikkita nuqta orasidagi to'g'ri chiziqning istalgan nuqtasi bo'ling a va B ; qurish. nuqtalar a 2, Aa, Ao shunday qilib Al o'rtasida yotadi A va -,42, 112 o'rtasida Al va A3va hokazo va bu segmentlar hammasi teng; keyin 112, A3, a,, nuqtalar orasida har doim nuqta bo'ladi.
Shunday qilib B o'rtasida yotadi A va B Aksiomaning ushbu formulasi bizga segmentlarning tengligini umumiy proektsion o'lchov ma'nosida aniqlashga imkon beradigan bo'lsa-da, u oddiy ma'noda to'g'ri chiziqning uzluksizligini o'z ichiga olmaydi; u faqat segmentlar algebrasi uchun zarur bo'lgan shartni taqdim etadi. Shu munosabat bilan uzluksizlik atamasini ishlatishdan butunlay qochish yaxshi bo'lar edi; haqiqatan ham Arximed aksiomasi bizni uzluksizlik aksiomasini aniq kiritish zaruratidan xalos qilmaydi, shunchaki bunday aksiomani kiritishga imkon beradi. Shunday qilib, geometriyaning butun sohasi uchun Professor Gilbertning aksiomalar tizimi sumcient emas. Masalan, ushbu tizimdan aylana va to'g'ri chiziq umumiy ikkita nuqtaga yoki bitta nuqtaga yoki hech qanday nuqtaga ega emasligi kelib chiqsa-da, ba'zi nuqtalari ichida va ba'zilari bo'lgan to'g'ri chiziq geometrik ravishda qaror qabul qilish mumkin emas. doira tashqarisida aylana bilan uchrashadi; boshqa tomondan so'zlar, doira yopiq figurami yoki yo'qmi, hal qilinmagan bo'lib qoladi. Bundan tashqari, masalan, to'g'ri burchakli uchburchakni umuman gipotenuzadan va bir tomondan qurish mumkin emasligi kelib chiqadi.
Yuqorida keltirilgan aksiomalar tizimi o'z-o'zidan izchilmi? Unda hech qanday bayonot yoki bayonotlar mavjud emasmi, ularning qo'llanilishi nihoyat aqlga sig'maydigan yoki o'ziga zid narsaga olib kelishi mumkinmi?
Geometriya aksiomalarning cheksiz takroriy qo'llanilishi bilan qurilganligi sababli, qarama-qarshilik faqat bunday dasturni cheksiz takrorlashdan keyin paydo bo'lishi mumkinligi istisno qilinmaydi. J. H. Lambert aksiomalarni son-sanoqsiz usullar bilan birlashtirilishi mumkin bo'lgan ko'plab tenglamalar bilan taqqoslaydi.
Professor Gilbert, izchillik masalasini hal qilish uchun, sanab o'tilgan raqamlar ansamblining domenini tasavvur qiladi va nuqtani domenning ikkita raqami bilan, to'g'ri chiziqni uchta raqam nisbati bilan ifodalaydi. Chiziqdagi nuqtalarning tartibi haqidagi ba'zi konventsiyalar yordamida va hokazo., tarjima va aylanish haqida shunday qilib, aksiomalarning barcha beshta guruhi ushlab turadigan geometriya aniqlanadi. Shunday qilib, savol geometriya sohasidan arifmetikaga o'tkaziladi; geometriyadagi har qanday qarama-qarshilik raqamlarning tasavvur qilingan sohasi arifmetikasida paydo bo'lishi kerak. Ammo savol shunchaki uzatilganligi sababli, xuddi shu muammo arifmetika uchun ochiq bo'lib qoladi. Geometrik domenning o'zida qaror topish va uni kelajakdagi baxtli imkoniyatga qoldirmaslik maqsadga muvofiqdir. Aksiomalar orasida qarama-qarshiliklarning yo'qligi to'g'risida yakuniy qarorning ahamiyati ko'rinib turibdi ; bu ularning o'zaro mustaqilligi haqidagi savoldan ham yuqori.
Hozirgi xotirada muallif parallellarning aksiomasi, uchburchaklar uchun uyg'unlik aksiomasi va Arximed aksiomasi, har biri boshqa guruhlarning aksiomalaridan mustaqilligi haqida. Aksiomalarning o'zaro mustaqilligining butun mavzusini to'liq o'rganish Professor Gilbert tomonidan ma'ruzalar kursida berilgan Evklid geometriyasi 1898-1899 yillarda Gyotkttingen universitetida, shu bilan bosma xotirani to'ldiradi. Har bir holatda isbotlash usuli izchil postulatlar tizimi mavjudligini ko'rsatishdan iborat bo'lib, ular yordamida muhokama qilinayotgan aksioma amal qilmaydigan geometriyani qurish mumkin.
Shunday qilib, birinchi guruhning boshqa barcha aksiomalarining aksiomasining (I, 5) mustaqilligini isbotlash uchun Professor Gilbert quyidagicha davom etadi. Yangi geometriyaning nuqtalari Evklid fazosining nuqtalari bo'lsin, bittasi bundan mustasno, O; tekisliklar tekislik bo'lsin; va yangi geometriyada mavjud bo'lmagan O nuqtasi orqali doiralarni to'g'ri chiziqlar sifatida olaylik. Ushbu geometriya uchun birinchi guruhning barcha aksiomalari beshinchisidan tashqari. Shuni ta'kidlash kerakki, ushbu fikrlash usulida Evklid fazosining xususiyatlari faqat ma'lum arifmetik munosabatlar uchun qisqartirish yozuvlari sifatida ishlatiladi.
Aksiomalarning mustaqilligi uchun dalillar haqiqiy deb hisoblangan aksiomalar soni qanchalik ko'p bo'lsa, shuncha ko'p ishtirok etadi. Professor Gilbert o'z ma'ruzalarida ushbu savollarni, ayniqsa Evklid bo'lmagan geometriya, ushbu geometriyadagi muvofiqlik teoremalarining isboti va boshqalarni kengroq muhokama qilishga kirishadi.