B. Abdurahmonov Toshkent–2008 2 B. Abdurahmonov. Matematik induksiya metodi

1-teorema. 

n = 2 

da:   

 (4.7.2) tensizlikningchap qismi:

2! 2

=

 

 (4.7.2) tengsizlikning o’ng qismi:            

2

2

2 1

3

9

2, 25

2

2

4

+

=

=

=

⎛

⎞

⎛ ⎞

⎜

⎟

⎜ ⎟

⎝

⎠

⎝ ⎠

. 

   2 < 2,25 bo’lganligi sababli 1-teorema isbotlandi. 

2-teorema. 

n=k

 da 

 

(4.7.2) tengsizlikning bajarilishi berilgan: 

2

,

2

1

!

≥

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

<

k

k

k

k

 . 

n = k+

1 da quyidagi tengsizlikning bajarilishini isbotlash 

lozim:  

2

,

2

2

!

)

1

(

1

≥

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

<

+

+

k

k

k

k

. 

Isbotlash.  

=

+

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

<

+

⋅

=

+

)

1

(

2

1

)

1

(

!

!

)

1

(

k

k

k

k

k

k

 

                      

1

2

2

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

k

k

songa ko’paytiramiz va bo’lamiz 

<

+

+

⋅

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

+

⋅

⋅

+

⋅

+

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

+

+

+

+

+

+

1

1

1

1

1

1

)

2

(

)

1

(

2

2

2

)

2

(

2

2

)

1

(

)

1

(

2

2

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

 

 

35 

 

1

)

2

(

)

1

(

2

1

1

<

+

+

⋅

+

+

k

k

k

k

 tengsizlikning bajarilishini isbotlaymiz. 

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

2

2

)

2

(

)

1

(

2

+

+

+

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

⋅

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

=

+

+

⋅

k

k

k

k

k

k

k

k

k

. 

2

1

1

1

....

2

)

1

(

1

!

2

)

1

(

1

1

1

1

1

1

1

0

>

+

+

+

+

+

⋅

⋅

+

+

+

+

+

=

+

+

+

>

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛



k

k

k

k

k

k

k

k

k

. 

1

2

1

2

2

1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

=

⋅

<

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

⋅

⇒

<

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

⇒

+

+

k

k

k

k

k

. 

1

1

2

2

1

2

2

+

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

<

k

k

k

k

. 

2-teorema isbotlandi.  

Matematik induksiya prinsipiga ko’ra  (4.7.2) tengsizlik ixtiyoriy 

2

≥

n

 

natural son uchun bajariladi.  

 (4.7.3) tengsizlikni isbotlaymiz. 

1-teorema.   

n = 3 da

:     (4.7.3) tengsizlikning chap qismi: 

 

 

 

 

 

 

 

 

3! 6

36

= =

. 

                                        (4.7.3)  tengsizlikning o’ng qismi:       

3

2

3

27

=

. 

 Bo’lganligi uchun

27

36

>

 1-teorema isbotlandi. 

2-teorema.   (4.7.3) tengsizlikning  

n = k 

da bajarilishi

 

berilgan: 

3

,

!

2

≥

>

k

k

k

k

. 

n = k+

1 da quyidagi tengsizlikning bajarilishini isbotlaymiz :  

3

,

)

1

(

!

)

1

(

2

1

≥

+

>

+

+

k

k

k

k

. 

Isbotlaymiz. 

 

36 

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

2

(

1)

(

1)

(

1)!

! (

1)

(

1)

(

1)

(

1)

(

1)

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

+

+

+

+

⋅ +

⋅

+

= ⋅ + >

⋅ + ⋅

=

+

⋅

>

+

+

⋅

 

 (4.6) masalada  

.

3

,

)

1

(

1

≥

∀

+

>

+

n

n

n

n

n

tengsizlik isbotlangan. Bu 

tengsizlikdan quyidagi tengsizlik hosil qilinadi:  

.

3

,

)

1

(

2

2

1

≥

∀

+

>

+

n

n

n

n

n

     

n = k

 uchun quyidagini hosil qilamiz: 

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

(

1) (

1)

1

(

1)

(

1)

1

(

1)

(

1)

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

+

+

+

>

+

⋅ +

⎛

⎞

>

+

⋅

=

+

⋅ +

>

+

⎜

⎟

⎝

⎠

+

⋅



. 

2-teorema isbotlandi.  Matematik induksiya prinsipiga ko’ra  (4.7.3) 

tengsizlik ixtiyoriy 

3

≥

n

 natural son uchun bajariladi.  

 (4.7.4) tengsizlikni isbotlaymiz. 

1-teorema.  

n = 3 

da:  (4.7.4) tengsizlikning chapqismi:         

3! 6

=

; 

 (4.7.4)tengsizlikning o’ng qismi:       

3 1

2

4

−

=

. 

6 > 4 bo’ganligi sababli 1-teorema isbotlandi. 

  2-teorema.   (4.7.4) tengsizlik 

n = k 

da bajarilishi berilgan: 

 

3

,

2

!

1

≥

∀

>

−

k

k

k

.   

n = k+

1 da tengsizlikning bajarilishini isbotlash losim:  

3

,

2

!

)

1

(

1

1

≥

>

+

−

+

k

k

k

. 

Isbotlsh. 

N

da

k

k

k

k

k

k

k

k

k

3

,

2

2

1

2

)

1

(

2

)

1

(

!

!

)

1

(

1

1

≥

>

+

⋅

=

+

⋅

>

+

⋅

=

+

>

−

. 

2-teorema isbotlandi. .  Matematik induksiya prinsipiga ko’ra  (4.7.4) 

tengsizlik ixtiyoriy 

3

≥

n

 natural son uchun bajariladi.  

 (4.7.5) tengsizlikni isbotlaymiz. 

1-teorema. 

 n = 1da     

1

1

2

1

!

1

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

<

<

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

e

e

tengsizlikka ega bo’lamiz. 1-

teorema isbotlandi. 

 

37 

2-teorema. 

(4.7.5)  tengsizlik ning n=k da o’rinli ekanligi berilgan:  

!

2

k

k

k

k

k

e

e

⎛ ⎞

⎛ ⎞

< <

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎝ ⎠

.  n = k+1 da tengsizlikni isbotlash lozim:   

1

1

1

1

(

1)!

2

k

k

k

k

k

e

e

+

+

+

+

⎛

⎞

⎛

⎞

<

+

<

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

. 

Isbotlash.  

Ushbu tengsizlikning o’ng qismini isbotlaymiz.  

1

1

(

1)

1

(

1)! (

1) ! (

1)

1

k

k

k

k

k

k

k

k

e

k

k

k

k

e

e

k

e

+

+

⎛ ⎞

+ ⋅⎜ ⎟

+

⎛ ⎞

⎛

⎞

⎝ ⎠

+ =

+ ⋅ >

+ ⋅

=

=

⎜ ⎟

⎜

⎟

⎝ ⎠

⎝

⎠

+

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

 

 

1

1

1

1

1

(4.2.4)

1

(

1)

1

1

(

1)

1

1

k

k

k

k

k

k

k

k

e

k

k

k e

k

e

k

e

e

e

k

e

k

+

+

+

+

+

<

+

+ ⋅

⋅

+

+

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

=

=

⋅

>

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

+

⋅

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎛

⎞

+

⎜

⎟

⎝

⎠



 

(4.7.5) tengsizlikning o’ng qismini isbotlaymiz.  

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

<

⋅

+

=

+

+

+

1

1

2

1

2

2

1

2

!

)

1

(

!

)

1

(

k

k

k

k

k

k

k

e

k

e

k

k

k

 

1

1

1

1

1

2

1

2

(

1)

1

2

k

k

k

k

k

k

e

e

k

k

+

+

<

≤

+

+

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

=

⋅

⋅

<

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

+

+

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠





.  2-teorema isbotlandi.  

Matematik induksiya prinsipiga ko’ra  (4.7.5) tengsizlik ixtiyoriy 

n

 natural 

son uchun bajariladi.  

Eslatma: 

n

>1 da (4.7.2) va  

e

n

n

<

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ + 1

1

  tengsizlikdan foydalanib, 

quyidagini hosil qilamiz:  

   

 

38 

1

1

1

1

2

!

2

2

2

2

2

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

e

e

e

n

e

n

e

⎛

⎞

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

⎛

⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎝

⎠

⎝

⎠

⎜

⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝

⎠

⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

+

+

+

<

= ⋅

⋅

= ⋅

⋅

< ⋅

⋅

. 

 4.8-masala. 

Tengsizliklarni isbotlang: 

       

1

2

2 ... . 2

2 1,

n

n

ildiz

x

n N

+

=

+

+ +

<

+

∀ ∈



;                   (4.8.1) 

N

n

x

ildiz

n

n

∈

∀

<

+

+

+

=

,

3

4

....

4

4



.                            (4.8.2) 

(4.8.1) tengsizlikni isbotlaymiz. 

 1-teorema. 

n = 1 da     

2

1

2

2

2 2 2 1

( 2 1)

2 1

x

=

+

<

+

+ =

+

=

+

 ega bo’lamiz. 1-

teorema isbotlandi. 

 2-teorema.  

n = k uchun (4.8.1) tengsizlik berilgan :     

1

2

2

...

2

2

1

+

<

+

+

+

=

+



k

k

x

. 

n = k+1 tengsizlikni isbotlash lozim:  

1

2

2

...

2

2

2

1

+

<

+

+

+

=

+

+



ildiz

k

k

x

. 

Isbotlash.  

1

2 1

2

2

2 ...

2

2

2 1

2 2 2 1

2 1

k

k

ildiz

x

+

<

+

+

=

+

+ +

<

+

+ <

+

+ =

+



 

2-teorema isbotlandi. Matematik induksiya prinsipiga ko’ra  (4.8.1) 

tengsizlik ixtiyoriy n natural son uchun bajariladi.  

 (4.8.2) tengsizlikni isbotlaymiz. 

 1-teorema.    n = 1 da   

1

4

9 3

x

=

<

=

 ega bo’lamiz. 1-teorema 

isbotlandi. 

 

39 

 2-teorema. n = k da (4.8.1) tengsizlikning o’rinli ekanligini  berilgan: 

3

4

....

4

4

<

+

+

+

=



ildiz

k

k

x

. 

n = k+1 da tengsizlikni isbotlash lozim: 

3

4

....

4

4

1

1

<

+

+

+

=

+

+



ildiz

k

k

x

. 

Isbotlash. 

1

4

4 ....

4

4 3

7 3

1

k

x

k

ildiz

+

=

+

+

+

<

+ =

<

+



 

2-teorema isbotlandi. Matematik induksiya prinsipiga ko’ra  (4.8.2) 

tengsizlik ixtiyoriy n natural son uchun bajariladi.  

4.9-masala. Tengsizlikni isbotlang 

                  

.

6

:

,

6

5

!

5

5

!

5

5

5

≥

∈

∀

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

≤

−

n

N

n

n

n

n

                            (4.9) 

1-teorema.       

n = 6 

da:   

.

6

5

!

5

5

!

6

5

5

6

5

6

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

ega bo’lamiz.1-teorema 

isbotlandi. 

2-teorema. 

6

,

6

5

!

5

5

!

5

5

5

≥

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

≤

−

k

k

k

k

. tengsizlikning bajarilishi berilgan. 

Quyidagi tengsizlikning bajarilishini isbotlash lozim:    

5

1

5

1

6

5

!

5

5

!

)

1

(

5

−

+

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

≤

+

k

k

k

.