Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti matematika fakulteti

1-teorema. ketma-ketligining istalgan chegara nuqtasi (2.6) masalaning yechimi bo’ladi, shuning bilan birga, barcha , lari uchun, agarda

bo’lsa, unda ushbu quyidagi munosabati o’rinli bo’ladi:
.
Isbotlash. Mayli nuqtasi nuqtalar ketma-ketligining ba’zi-bir chegaraviy nuqtasi bo’lsin. Barcha lar to’plamiga tegishli bo’lgani sababli va bu to’plam yopiq bo’lgani uchun, nuqtasi to’plamida joylashadiganligi ma’lum. Shuning bilan birga, bunda nuqtasi (2.6) masalaning yechimi bo’lmaydi deb faraz qilamiz. Unda tengligini hisobga olib tengsizligi bajariladigan nuqtasi bor bo’ladi deb tasdiqlashga bo’ladi. nuqtalar ketma-ketligining nuqtasiga yaqinlashuvchi bo’ladigan ulush ketma-ketligini deb belgilaymiz va funksiyasining uzluksiz bo’ladiganligidan foydalanib keyingi tengsizlikni quyidagicha qilib yozamiz:
.
Bundan o’z navbatida musbat soni bor bo’ladiganligi kelib chiqib va istalgan uchun

bo’ladi, bo’lgani uchun, bu quyidagi tengsizlikni anglatadi.
. (2.7)
Biroq ichki nuqtasi uchun

bo’ladi, ya’ni
.
Shuning uchun yetarli katta lar uchun

tengsizliklarining o’rinli bo’ladiganligi (2.7) dan kelib chiqadi, bu bo’lsa ning ta'rifiga teskari bo’ladi. Shuning uchun paydo bo’lgan qarama-qarshilik (4) masalasi uchun optimal bo’ladiganligini isbotlaydi.
Mayli endi barcha uchun bo’lsin. Unda ning ta’rifini hisobga olib, quyidagiga ega bo’lamiz:

Demak, monoton kamayuvchi ketma-ketligi bo’ladi. Shuning bilan birga ketma-ketligi quyidan miqdori bilan chegaralangan bo’ladi.
Demak

limiti bor bo’ladi.
Endi tengsizligi mumkin emas bo’ladiganligini ko’rsatamiz. Haqiqatdan ham, agarda bunday tengsizlik o’rinli bo’lsa, unda va nuqtasiga yaqin bo’lgan nuqtasi topilib, barcha lar uchun ushbu quyidagi tengsizliklari o’rinli bo’lar edi:
.
bo’lgani uchun, bundan yetarli katta bo’lgan da

kelib chiqadi. Biroq, nuqtalarining ta’rifidan bu mumkin emas bo’ladi. Teorema isbotlandi.
Yuqorida isbotlangan tasdiqlanishiga asoslanib (2.2) masalaning berilgan yechish algoritmi yaqinlashuvchi bo’ladiganligiga kafolat berishga bo’ladi