Tengsizliklarni bevosita isbotlash usullari haqida. 1–misol. Istalgan va sonlari uchun ekanligini isbotlang. Yechilishi

Tengsizliklarni isbotlashning klassik usullari.
 
Tengsizliklarni bevosita isbotlash usullari haqida.
1–misol. Istalgan  va  sonlari uchun ekanligini isbotlang.
Yechilishi. Istalgan  va  sonlari uchun  ayirmani manfiy emasligini ko’rsatamiz:

Istalgan sonning kvadrati nomanfiy son bo’lgani uchun  va . Demak, istalgan va  sonlari uchun manfiy emas. Shuning uchun berilgan tengsizlik istalgan  va  sonlari uchun o’rinli. Jumladan, tenglik belgisi  bo’lgandagina bajariladi. ∆
Tengsizlikning to’g’riligini ko’rsatish uchun uning har ikkala qismining ayirmasini musbat yoki manfiyligini aniqlash, ya’ni yuqoradagi misoldagidek bevosita ta’rifdan foydalanib isbotlashga harakat qilish ayrim hollarda qiyinchiliklarni tug’diradi. Shuning uchun tengsizliklarni isbotlashda tengsizliklarning xossalaridan foydalanish tavsiya etiladi.
2-misol.  tengsizlikni isbotlang.
Yechilishi:

3-misol.  tengsizlikni isbotlang.
Yechilishi: 
O’rtacha qiymatlar va ular orasidagi munosabatlar.
1. O’rtacha qiymatlar.
a ={a₁, a₂ ,…, a_n} musbat sonlar ketma-ketligi uchun
o’rta arifmetik qiymat  A(a)=A_n=  , 
o’rta geometrik qiymat  G(a)=G_n= ,
o’rta kvadratik qiymat  K(a)= K_n=  va
o’rta garmonik qiymat  N (a)=N_n=  larni aniqlaymiz.
Xususan x, y  musbat sonlar uchun bu o’rta qiymatlar quyidagicha aniqlanadi:
A₂= ; G₂= ; K₂= ; N₂ =  .
2. O’rta arifmetik va o’rta geometrik qiymatlar haqida Koshi tengsizligi va uning turli isbotlari. 
Teorema. A_n ³ G_n va A_n = G_n  tenglik faqat va faqat
a₁=a₂ =…= a_n tenglik bo’lganda o’rinli.
isbot. Teoremaning isboti quyidagi ma’lum tasdiqqa asoslangan:
x³ 1  da e^{x -1}³ x  , shu bilan birga e^{x -1}=x  tenglik esa faqat x=1 da bajariladi.  Bundan: 
1= e⁰ = exp =  ³   =  .
Demak, A(a) ³ G(a) va tenglik esa faqat , i=1, 2,…, n bo’lganda bajariladi. Bundan esa a₁=a₂ =…= a_n = A(a) ekanligi kelib chiqadi.