Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti matematika fakulteti

Teorema(Neyman – Pirson). Yuqorida keltirilgan shartlar bajarilganda har doim tekis eng quvvatli alomat mavjud va u quyidagi kritik to’plam bilan aniqlanadi

S

1
^{*  x : l(x)  c}.

Bu yerda c- kritik nuqta Ψ(c) = α tenglamadan topiladi.

T. e. q. alomat taqsimoti funksiyasi absolyut uzluksiz bo’lgan hol uchun keltirildi. Ammo bunday alomat diskret taqsimotlar uchun ham mavjud bo’ladi.

2. 
   – misol. X₁,X₂, ..., X_n lar noma‘lum θ o’rta qiymatli va ma‘lum σ² dispersiyali normal taqsimlangan t.m.ning bog’liqsiz tajribalar natijasida olingan kuzatilmalari bo’lsin. Asosiy gipotezaga ko’ra H₀ : θ = θ₀, raqobatlashuvchi gipoteza H₁ ga ko’ra θ = θ₁ va θ₁ > θ₀ bo’lsin. Demak,
   

f₀ x 
_( x₀ )

¹ 2
_e 2 _,


f₁ (x) 
_( x₁ )<sup>2

1</sup> 2
_e 2

Endi haqiqatga o’xshashlik statistik nisbati l(x) ni topaylik

_  1
ⁿ 
 ²  
 ² ^ 
 ⁿ _
 
 ⁿ  ²  ² ^

l(x)
exp_ _{2 2 } x_{i 1}

10. 
    0
    

_ exp_{ 2 1}
0 ^x _{2 2} 1 0 ^

 i1  ^{ }
holda
l(x)  c
tengsizlik quyidagi



1 0 1 0
x   ² ln c n        2

tengsizlikka ekvivalent. Oxirgi tengsizlikni quyidagicha yozish mumkin.


_ x  ₀  


ln c 
2
₁
 ₀
  t(c)

x - tanlanma o’rta qiymat θ₀ va  ²
taqsimlangani uchun
n - parametrlik normal qonun bo’yicha

(c)  Pl(x)  c
H  P^{ n} x  

 _

0

0

  t(c)^   t(c)




Bu yerda
(x)

• 
  Laplas funksiyasi. Tanlangan ixtiyoriy
  

  0;1
ehtimollik

uchun,
tc_   t_ ,
 t_   
tengliklar bajariladigan c_α soni har doim

mavjud. Demak, Neyman – Pirson teoremasining barcha shartlari qanoatlantiriladi. Shu teoremaga asosan t. e. q. alomat mavjud va uning kritik to’plami quyidagicha aniqlanadi.

S

1
^*  x :
x ₀
^{   t },
 t_   

Mana shu alomatning quvvatini hisoblaylik. Alternativ H₁ gipotezaga ko’ra

x - tanlanmaning o’rta qiymati θ₁ va bo’yicha taqsimlangandir. U holda
 ² n
- parametrli normal qonun

_*    ^{ }




W (S_1 ,₁ )  P x  ₀  t_ H₁   P^ _ x  ₁    _ ₁  ₀  t_ H₁ ^ 

  _
 

(8.2.1)

 ^
_ 
₁  ₀  t_ ^


(8.2.1) munosabatdan ikkinchi tur xatolik ekanligi kelib chiqadi.
  , n  t_ 
n₁ ₀ 

Bular

 t_   
^va t_ 
n₁ ₀  

(8.2.2)

Φ(y)=p tenglamaning yechimini ko’raylik. Bu tenglamaning yechimi y_p

2
normal qonunning p – chi kvantili deyiladi. U holda (8.2.2) ga asosan

• 
  t  y ,
  

t  n 
    y
. Oxirgi ikki tenglikdan
 ² y


n 
 y 



2
 1

^{ } 
1 0 
₁
 ₀ 

munosabatga ega bo’lamiz. Qidirayotgan son butun bo’lishi lozim.
^ ² y  y ^{2 }

Shuning uchun,
^{n* } 
_
₁
 

2
 ₀ 
^{  1}. Bu erda [a] – a sonning butun
_

qismi. Masalan, α=β=0.05 va
₁  ₀

 0.1
bo’lsa, u holda n^*=1076 bo’ladi;

agarda α=β=0.001,
₁  ₀

 1 bo’lsa, n^*=39 bo’ladi.

Noparametrik muvofiqlik alomatlari

Faraz qilaylik, X₁,X₂, ..., X_n lar bog’liqsiz n ta tajriba natijasida X t.m.ning olingan kutilmalari bo’lsin. X t.m.ning taqsimoti noma‘lum F(x) funksiyadan iborat bo’lsin. Noparametrik asosiy gipotezaga ko’ra H₀:F(x)=F₀(x). Mana shu statistik gipotezani tekshirish talab etilsin.

1. 
   A. Kolmogorovning muvofiqlik alomati
   

X₁,X₂, ..., X_n kuzatilmalar asosida
^Fn ^(x)
empirik taqsimot funksiyasini

tuzamiz. Faraz qilamiz, F(x) uzluksiz taqsimot funksiyasi bo’lsin. Quyidagi statistikani kiritamiz

^{Dn  Dn}  ^{X1, X2,..., Xn}  ^

Glivenko teoremasiga ko’ra n yetarli katta bo’lganda D_n kichik qiymat qabul qiladi. Demak, agar asosiy gipoteza H₀ o’rinli bo’lsa D_n statistika kichik bo’lishi kerak. Kolmogorovning muvofiqlik alomati D_n statistikaning shu xossasiga asoslangandir.


Teorema(Kolmogorov). Ixtiyoriy uzluksiz F(x) taqsimot funksiyasi va λ uchun

bo’ladi.
lim P
n
nD_n
 _  K ()  _^
i
_(1)i _e2i² ²

D_n – statistikaga asoslangan statistik alomat kritik to’plami quyidagicha aniqlanadi

^S1
 t : t  D_n (x₁ , x₂ ,..., x_n )  t_ _.

Bu yerdan 0<α<1 – alomatning qiymatdorlik darajasi.

Kolmogorov teoremasidan quyidagi xulosalar kelib chiqadi:

1. 
   D_n – statistikaning H₀ gipoteza to’g’ri bo’lgandagi taqsimoti F(x) bog’liq emas;
   
2. 
   Amaliy nuqtayi nazardan n ≥ 20 bo’lgandayoq teoremadagi
   

^{yaqinlashish juda yaxshi natija beradi, ya‘ni} P nD_n   ^{ni K(λ) bilan}
almashtirishdan yo’l qo’yiladigan xatolik yetarlicha kichikdir.
Bu xulosalardan kelib chiqadiki, n ≥ 20 bo’lsa kritik chegara t_α ni
_ ^{ga teng deb olish mumkin. Bu yerda λα K(λα) = 1- α tenglamaning}
ildizlaridan iborat. Haqiqatan ham berilgan 0< α <1 uchun
P^D_n  S_1 H₀ ^ P^ nD_n  _ H₀ ^ 1 K(_ )   .
Shunday qilib, Kolmogorov alomati quyidagicha aniqlanadi:

1. 
   berilgan α orqali K(λ_α) = 1- α tenglama yechimi λ_α jadval yordamida topiladi.
   
2. 
   berilgan tajriba natijalari x₁, x₂, …, x_n larga ko’ra t=D_n(x₁, x₂, …, x_n) qiymati hisoblanadi,
   

3. 
   ^nt
   

va λ_α solishtiriladi, agar
nt  _
bo’lsa asosiy gipoteza H₀ rad

eriladi, aks holda tajriba H₀ ni tasdiqlaydi.

2. 
   K. Pirsonning xi–kvadrat muvofiqlik alomati
   

Amaliyotda Kolmogorov statistikasini hisoblash ancha murakkab va undan tashqari Kolmogorov alomatini qo’llash faqat taqsimot funksiya F(x) uzluksiz bo’lgandagina mimkindir. Shuning uchun, amaliyotda ko’p hollarda Pirsonning xi – kvadrat alomati qo’llaniladi. Bu alomat universal xarakterga ega bo’lib, kuzatilmalarni guruhlash usuliga asoslangandir.

Faraz qilaylik, X – kuzatilayotgan va taqsimot funksiyasi noma‘lum F(x) bo’lgan X t.m.ning qiymatlari to’plami bo’lsin. X ni k ta kesishmaydigan oraliqlarga ajratamiz:

^{X } _{i ∩} _j
^{ 0} ,
i _
^j , ^{i, j  1,2,...,k}

Takrorlanishlar vektori deb ataladigan ^{  ( 1,..., k )}
vektorni olaylik.

^{Bu vektorning} i ^{– koordinatasi kuzatilmalardan  i}
tasi  _i
oraliqqa

tushganligini anglatadi. Ko’rinib turibdiki, takrorlanishlar vektori 
tanlanma ( X₁, , X_n ) orqali bir qiymatli aniqlanadi va  ₁  ₂  ...  _k  n .
Asosiy gipoteza H₀ to’g’ri, bo’lgandagi kuzatilmaning  _i oraliqqa tushish,

ehtimolligini
^Pi 0
bilan belgilaylik:

^Pi 0
 PX   _i
H ₀ _,
i  1,2,...,k.

Quyidagi statistikani kiritamiz
^k ^

• 
  ^nP ²
  

n
²  _
i1
k i 0

nP_{i 0}

va H₀ :
F (x)  F₀ (x)
asosiy gipotezani to’g’riligini tekshiramiz.

Kuchaytirilgan katta sonlar qonuniga asosan nisbiy chastota  _r n bir

ehtimollik bilan nazariy ehtimollik
^Pr 0
ga intiladi. Demak, agar H₀





n
gipoteza o’rinli bo’lsa, u holda ² statistikaning qiymati yetarli darajada

kichik bo’lishi kerak.Demak, Pirsonning
 ² mezoni
² statistikaning katta



n

n
qiymatlarida asosiy gipoteza H₀ ni rad etadi, ya‘ni alomatning kritik sohasi

^S1
 t : t  t_
^ ko’rinishda bo’ladi. Asosiy gipoteza H₀ to’g’ri bo’lganida ²

statistikaning aniq taqsimotini hisoblash ancha murakkab, bu esa o’z
navbatida alomatning kritik chegarasi t_ ni topishda qiyinchilik tug’diradi.



n
Ammo, n yetarli katta bo’lsa H₀ gipoteza to’g’ri bo’lganida ²
statistikaning taqsimotini limit taqsimot bilan almashtirish mumkin.

n - Gamma funksiya. ■

P 
Amaliyotda bu teorema natijasidan n≥50,  _i  45 ,


i  1,2,...,k. ^bo’lganda

foydalanish mumkin. Bu holda t_

2
k 1

• 
  t_
  

^{ } ,
0    1

tenglamadan topiladi.