Berdaq nomidagi qoraqolpoq davlat universiteti

Determinantlar quyidagi xossalarga ega:
1⁰. Barcha satrlar va ustunlar o‘rinlari almashtirilsa, ya’ni satrlarni ustun, ustunlarni satr qilib yozilsa, determinant qiymati o‘zgarmaydi.
2⁰. Ixtiyoriy ikki satr (ustun) o‘rinlari almashtirilsa, determinantqiymatining ishorasi o‘zgaradi.
3⁰. Ikki satri (ustuni) bir xil bo‘lgan determinant qiymati nolga teng.
4⁰. Ixtiyoriy satr (ustun) umumiy ko‘paytuvchisini determinant belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.
5⁰. Biror satr (ustun) elementlariga boshqa satr (ustun) elementlarini qandaydir songa ko‘paytirib qo‘shishdan determinantqiymatio‘zgarmaydi.
Misol. Berilgan determinantlarni hisoblang.
a) ; b) ; c)
Yechish.

1. 
   
   
2. 
   1 –usul: 2-usul:
   

3-usul:
To’rtinchi tartibli determenadni xisoblash.

Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar.
1-ta’rif. Biror n-tartibli determinantning elementining minori deb, shu element turgan yo’l va ustunni o’chirishdan hosil bo’lgan (n-1) - tartibli determinantga aytiladi va odatda M_ij orqali belgilanadi.
Masalan.

uchinchi tartibli determinantning a₂₃ elementining minori M₂₃= ikkinchi tartibli determinant bo’ladi.


2-ta’rif. n-tartibli determinantning elementining algebraik to’ldiruvchisi deb shu element minorini (-1)^i+j ishora bilan olinganiga aytiladi va orqali belgilanadi.
= (-1)^i+jM_ij
Misol.

determinantning a₄₃ elementining minorini va a₂₁ elementining algebraik to’ldiruvchisini hisoblang.
M₄₃= =3-20-15+8= -24

A₂₁=(-1)²⁺¹M₂₁= -M₂₁= - = -24+3-6+4= -23.

Minor va algebraik to’ldiruvchilar tushunchalari kiritilgandan keyin determinantning yana uchta xossasini ko’rib o’taylik.
7-xossa. Agar determinantning biror i-yo’lida (yoki j-ustunida) elementdan boshqa hamma elementlari nol bo’lsa, u holda bu determinant shu element bilan shu elementning algebraik to’ldiruvchisi ko’paytmasiga teng bo’ladi.
= = (-1)^i+j M_ij .


8-xossa. Har qanday determinant, biror yo’li (yoki ustuni) elementlari bilan shu elementlarning algebraik to’ldiruvchilari ko’paytmalarining yig’indisiga teng bo’ladi.
= a₂₁A₂₁+a₂₂A₂₂+ a₂₃A₂₃ yoki a₁₁A₁₁₊a₂₁A₂₁+ a₃₁A_31.
Determinantning 8-xossasidan foydalanib istalgan tartibli determinantni hisoblash mumkin.
Misol.
=(-5)·(-1)¹⁺¹ +1(-1)¹⁺² +
+(-4)(-1)¹⁺³ +1(-1)¹⁺⁴ = -264 .
9-xossa. Determinantning biror yo’li (yoki ustuni) elementlarining boshqa yo’li (yoki ustuni) elementlarining algebraik to’ldiruvchilari ko’paytmalarining yig’indisi nol bo’ladi.
Masalan. Ikkinchi ustun elementlarini birinchi ustun elementlarining algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytirsak a₁₂A₁₁+a₂₂A₂₁+ a₃₂A₃₁=0 bo’ladi.

№3 Mavzu: Matrisa va ular ustida amallar.

ustun, element, o’lchov, matrisa, to’ğri burchakli matrisa, kvadrat matrisa, yo’l matrisa, ustun matrisa, diagonal matrisa, birlik matrisa, nol matrisa, matrisaning determinanti, teskari matrisa, transponirlangan matrisa.
Berilgan ( ,..., ; ,..., ) sonlardan tashkil topgan quyidagi
yoki (1)
ko’rinishdagi jadvalga matrisa deyiladi. (1) ga m ta yo’lli, n ta ustunli, o’lchovli matrisa deyiladi. larga matrisaning elementlari deyiladi.
Agar mxn bo’lsa, (1) ga to’ğri burchakli yoki o’rta matrisa deyiladi. Agar bo’lsa, (1) ga kvadrat matrisa deyilib, uning o’lchami bo’ladi.
-kvadrat matrisa. -ustun matrisa deyiladi.

- yo’l matrisa deyiladi.
Matrisa faqat jadval bo’lib, u biror aniq sonni ifodalamaydi. Matrisada katta, kichik degan tushuncha bo’lmaydi.
Matrisalar odatda A,B,C,- harflar orqali belgilanadi.
Faqat kvadrat matrisalar uchun ularning elementlaridan tuzilgan determinantni kiritish va hisoblash mumkin.
A= , detA=|A|=


Hamma elementlari nol bo’lgan matrisaga nol matrisa deyiladi.
Bosh diagonal elementlaridan boshqa hamma elementlari nol bo’lgan kvadrat matrisaga diagonal matrisa deyiladi.
Bosh diagonal elementlari bir bo’lib, boshqa barcha elementlari nol bo’lgan kvadrat matrisaga birlik matrisa deyiladi va odatda E harfi orqali belgilanadi.
E= , |E|=1, bo’lishi ravshan.
Har qanday A va B matrisalarning A=B bo’lishi uchun ular bir xil o’lchovli va barcha mos elementlari teng bo’lishi shart:


,


, , , bo’lganda A=B bo’ladi.
Matrisani songa ko’paytirish.


Biror A matrisani k songa ko’paytirish deb, A matrisaning hamma elementlarini shu k songa ko’paytirishdan hosil bo’lgan matrisaga aytiladi va kA ko’rinishda yoziladi.
kA=Ak=

Misol.
.

Matrisalarni qo’shish.
Matritsalarni qo’shish amali faqat bir xil o’lchovli matritsalar uchun o’rinli bo’ladi.
Agar A va B matrisalar bir xil o’lchovli bo’lsa, ularning yiğindisi deb shunday C matrisaga aytiladiki, bu C matrisaning elementlari A va B matrisalarning mos elementlarining yiğindisidan iborat bo’ladi.
A= , B=
C=A+B= + = =
Misol.

Matrisalarni ko’paytirish.


Bizga
va


matritsalar berilgan bo’lsin.
Berilgan matrisalarni ko’paytirish uchun A matrisaning ustunlari soni , B matrisaning yo’llar soni ga teng bo’lishi shart. Aks holda ma’noga ega bo’lmaydi. Ikkita matrisani ko’paytirganda yana matrisa hosil bo’lib, hosil bo’lgan matrisaning yo’llar soni ko’payuvchi matrisaning yo’llar soniga, ustunlar soni esa ko’paytuvchi matrisaning ustunlar soniga teng bo’ladi.


, C= A B = .
Shunday qilib ikkita matrisaning ko’paytmasi yana matrisa hosil bo’lib, uning
c_ij elementi A matrisaning - yo’lidagi hamma elementlarini B matrisaning
j-ustunidagi mos elementlariga ko’paytmalarining yiğindisidan iborat bo’ladi:


c_ij=a_i1b_1j+ a_i2b_2j +...+ a_inb_nj . ( ,..., ; ,..., )

,


=
Matrisalarni ko’paytirganda quyidagi




Gruppalash va taqsimot qonunlari orinli bo’lib, o’rin almashtirish qonuni esa o’rinli bolmaydi, ya’ni

№4 Mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemasini Kramer