Berilgan formula

Sinus teoremasining isboti. Sinus teoremasi va kosinus teoremasi
Trigonometriya nafaqat algebra - tahlilning boshlanishi bo'limida, balki geometriyada ham keng qo'llaniladi. Shu munosabat bilan trigonometrik funktsiyalarga tegishli teoremalar va ularning isbotlari mavjudligini taxmin qilish maqsadga muvofiqdir. Darhaqiqat, kosinus va sinus teoremalari uchburchaklarning tomonlari va burchaklari o'rtasidagi juda qiziqarli va eng muhimi, foydali munosabatlarni keltirib chiqaradi.
Ushbu formuladan foydalanib, siz uchburchakning istalgan tomonlarini olishingiz mumkin:

Bayonotning isboti Pifagor teoremasi asosida olingan: gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng.
ABC ixtiyoriy uchburchakni ko'rib chiqaylik. C cho'qqisidan biz h balandligini rasmning asosiga tushiramiz, bu holda uning uzunligi mutlaqo muhim emas. Endi ACB ixtiyoriy uchburchakni ko'rib chiqsak, u holda C nuqtaning koordinatalarini trigonometrik orqali ifodalashimiz mumkin. cos funktsiyalari va gunoh.
Kosinusning ta'rifini eslang va ACD uchburchak tomonlari nisbatini yozing: cos a = AD/AC | tenglikning ikkala tomonini AC ga ko'paytiring; AD = AC * cos a.
AC uzunligini b deb olamiz va C nuqtaning birinchi koordinatasi ifodasini olamiz:
x = b * cos⁡a. Xuddi shunday, C ordinatasining qiymatini topamiz: y = b * sin a. Keyinchalik, biz Pifagor teoremasini qo'llaymiz va ACD va DCB uchburchaklari uchun navbat bilan h ni ifodalaymiz:


Shubhasiz, (1) va (2) iboralar bir-biriga teng. Biz o'ng tomonlarni tenglashtiramiz va shunga o'xshashlarni beramiz:

Amalda berilgan formula tomonidan uchburchakning noma'lum tomonining uzunligini topish imkonini beradi berilgan burchaklar. Kosinus teoremasi uchta natijaga ega: uchburchakning to'g'ri, o'tkir va o'tmas burchagi uchun.
cos a qiymatini odatdagi x o'zgaruvchisi bilan almashtiramiz, keyin ABC uchburchakning o'tkir burchagi uchun biz quyidagilarni olamiz:

Agar burchak to'g'ri bo'lib chiqsa, u holda 2bx ifodadan yo'qoladi, chunki cos 90 ° \u003d 0. Grafik jihatdan ikkinchi natijani quyidagicha ifodalash mumkin:

O'tkir burchak bo'lsa, formuladagi qo'sh argument oldidagi "-" belgisi "+" ga o'zgaradi:

Tushuntirishdan ko'rinib turibdiki, nisbatlarda murakkab narsa yo'q. Kosinus teoremasi Pifagor teoremasining trigonometrik miqdorlarda joylashishidan boshqa narsa emas.

Teoremaning amaliy qo'llanilishi

1-mashq. Tomoni BC = a = 4 sm, AC = b = 5 sm va cos a = ½ bo'lgan ABC uchburchak berilgan. AB tomonining uzunligini toping.
To'g'ri hisoblash uchun a burchagini aniqlash kerak. Buning uchun qiymatlar jadvaliga qarang trigonometrik funktsiyalar, unga ko'ra, 60 ° burchak uchun yoy kosinasi 1/2 ga teng. Bunga asoslanib, biz teoremaning birinchi xulosasining formulasidan foydalanamiz:


Vazifa 2. ABC uchburchak uchun barcha tomonlari ma’lum: AB =4√2,BC=5,AC=7. Shaklning barcha burchaklarini topish talab qilinadi.
Bunday holda, siz muammoning shartlarini chizmasdan qilolmaysiz.


Burchaklarning qiymatlari noma'lumligi sababli, ulardan foydalanish kerak to'liq formula o'tkir burchak uchun.

Analogiya bo'yicha, boshqa burchaklarning qiymatlarini shakllantirish va hisoblash qiyin emas:

Xulosa qilib aytganda, uchburchakning uchta burchagi 180 ° bo'lishi kerak: 53 + 82 + 45 = 180, shuning uchun yechim topildi.

Sinus teoremasi

Teorema shuni ko'rsatadiki, ixtiyoriy uchburchakning barcha tomonlari qarama-qarshi burchaklarning sinuslariga proportsionaldir. Nisbatlar uchlik tenglik shaklida yoziladi:

Bayonotning klassik isboti aylana ichiga chizilgan rasm misolida amalga oshiriladi.

Rasmdagi ABC uchburchagi misolida gapning toʻgʻriligini tekshirish uchun 2R = BC / sin A ekanligini tasdiqlash kerak. Keyin boshqa tomonlar ham sinuslarga mos kelishini isbotlang. qarama-qarshi burchaklar, 2R yoki D doiralari kabi.
Buning uchun B cho'qqisidan aylananing diametrini chizamiz. Aylanaga chizilgan burchaklarning xossalaridan ∠GCB to'g'ri chiziq, ∠CGB esa ∠CAB yoki (p - ∠CAB) ga teng. Sinus holatida, oxirgi holat muhim emas, chunki sin (p -a) \u003d sin a. Yuqoridagi xulosalarga asoslanib, quyidagilarni ta'kidlash mumkin:
sin ∠CGB = BC/ BG yoki sin A = BC/2R,
Shaklning boshqa burchaklarini hisobga olsak, sinus teoremasining kengaytirilgan formulasini olamiz:


Sinus teoremasini bilishni mashq qilish uchun odatiy vazifalar uchburchakning noma'lum tomonini yoki burchagini topishga to'g'ri keladi.