Bernulli formulasi

Bernulli formulasi

Reja:

1. 
   Bernulli tenglamasi
   
2. 
   Bernulli sxemasi
   
3. 
   Bernulli printsipi
   

Tajriba deganda, ma`lum shartlar to`plamining hozirlanishini tushunamiz, natija elementar hodisalar fazosining u yoki bu hodisasi ro`y berishi mumkin.

ta tajribalar ketma-ketligining matematik modeli yangi fazo bo`lib, uning elementlarini ko`rinishdagi elementlardan iborat bo`ladi. Bu erda - tajribaga mos fazoning ixtiyoriy nuqtasi. ga elementar hodisalar fazosining to`g`ri ko`paytmasi deyiladi.
Agar tajriba o`yin soqqasini tashlashdan iborat bo`lsa, elementar hodisalar fazosi 6 ta elementdan iborat bo`ladi.Uchta tajribaga mos elementar hodisalar fazosi 216 ta ( ) ko`rinishdagi nuqtalardan iborat bo`ladi.
Faraz qilaylik, -tajribada elementar hodisalar fazosi ta birgalik bo`lmagan tasodifiy hodisalarga bo`lingan bo`lsin, ya`ni ,
-tajribaning -holini hodisasi bilan belgilaymiz.
Bu hodisaning ehtimolligini bilan belgilaymiz.
bilan elementar hodisalar fazosining shartni qanoatlantiruvchi barcha nuqtalari to`plamini belgilaymiz.
Ta`rif: Agar da har qanday lar uchun tengligi bajarilsa, tajribalar ketma-ketligi bog`lanmagan deyiladi.
Biz bundan keyin hodisaning ehtimolligi tajribaning tartib raqami ga bog`liq emas deb faraz qilamiz.
Bu holda deb belgilaymiz. Mumkin bo`lgan hollar birgalikda bo`lmagan hodisalarning to`la guruhini tashkil qilganligi uchun bo`ladi.
Bunday sxema bo`lganda birinchi marta Ya.Bernulli tomonida qaralganligi uchun, unga Bernulli sxemasi deyiladi.
Bernulli sxemasida odatda deb olinadi.
Bog`lanmagan tajribalar ketma-ketligi ta`rifidan quyidagi kelib chiqadi.
Teorema: Agar berilgan n ta tajribalar bog`lanmagan bo`lsalar ulardan m tasi ham bog`lanmagan bo`ladi.
Isboti: deb olamiz. U holda quyidagi munosabat o`rinli bo`ladi
.
Bundan esa ta tajribalar bog`lanmaganliklari uchun

Bu esa ta tajribaning bolanmaganligini ko`rsatadi.
Teorema. ta tajribalarning bog`lanmagan bo`lishlari uchun, har qanday va har qanday lar uchun bo`lishi zarur va yetarli.
Bog`liqmas va bog`liq tajribalarga misollar keltiramiz.
1-misol. Tanga tashlanganda gerb tomonini yuqoriga qarab tushish hodisasini, gerb tomonini yuqoriga qarab tushmaslik hodisasini desak, tangani tashlash tajribalari o`zaro bog`liq bo`lmaydi;
2-misol. Yashikda ta oq va ta qora shar bor. Yashikdan olingan shar yana qaytarib solinsa, bu holda yashikdan olingan har bir sharning oq chiqish ehtimoli ga va qora chiqish ehtimoli gat eng. Har bir tajribadan so`ng olingan shar yashikka qytarib solinsa, tajriblar ketma-ketligi bir-biriga bog`liq bo`lmaydi. Agar yashikdan olingan shar yashikka qaytarib tashlansa, bu holda o`tkazilgan tjribalar o`zaro bog`liq bo`ladi. Haqiqatan ham, agar yashikdan olingn shar oq bo`lsa, yashikdan olingan ikkinchi sharning oq chiqish ehtimoli gat eng bo`ladi.
Faraz qilaylik ta bog`lanmagan tajribalar o`tkazilayotgan bo`lsin, har bir tajribada hodisaning ro`y berish ehtimolligi o`zgarmas va ga teng, ro`y bermaslik ehtimolligi ham o`zgarmas bo`lib ga teng .
Bu bog`lanmagan ta tajribalarda hodisasining rosa m marta, qolgan n-m ta tajribalarda hodisaning ro`y berish ehtimolligini bilan belgilaymiz.
ehtimollik uchun formula keltirib chiharamiz.
Faraz qilaylik A hodisasi burinchi ta tajribada ro`y bersin, qolgan ta tajribada hodisasi ro`y bersin, ya`ni
Ko`paytirish teoremasiga asosan, bu holning ehtimolligi ga teng bo`ladi.
ta tajribalarda hodisaning rosa marta ro`y berishiga imkon tug`diruvchi hollar soni

ga teng.
Qo`shish teoremasiga asosan
(1)
Bu formulaga Bernulli formulasi deyiladi.

ehtimollar ning binom yoyilmasidagi lar oldidagi koeffitsentlarga teng bo`lganligi uchun ehtimollarga ehtimollikning binomial taqsimot qonuni deyiladi.
Faraz qilaylik, har bir tajribada ta birgalikda bo`lmagan hodisalarning bittasi ro`y berishi mumkin, har bir tajribada hodisasining ro`y berish ehtimolligi ga teng bo`lsin.
ta tajribalarda hodisaning , hodisaning ,…, hodisaning marta ro`y berish ehtimolligini bilan belgilaymiz .
Bu ehtimollik quyidagiga teng bo`ladi.
(2)
Bu ehtimollik polinomial yoyilmada oldidagi koeffitsentga teng bo`ladi.
Endi ehtimollikni o`zgarmas da, m ning funksiyasi sifatida o`rganamiz. uchun Bernulli formulasiga asosan

Oxiri tenglikdan ko`rinadiki,

ya`ni

bo`lsa bo`ladi .
bo`lsa , agar bo`lsa bo`ladi. Bulardan ko`rinadiki ehtimollik o`sishi bilan oldin o`sadi, maksimumga erishadi, ning keyingi o`sishida kamayib boradi .
Agar butun son bo`lsa, ning maksimal qiymati ikkita bo`ladi, va .
Agar butun son bo`lmasa, dan katta eng kichik butun sonda maksimumga erishadi. Agar qaralayotgan hodisaning eng katta ehtimoli yuz berishlari sonini bilan belgilasak, umumiy holda quyidagi formula o`rinli bo`ladi

1- misol. Tanga 5 marta tashlanganda 2 marta gerbli tomonni tushish ehtimolligi topilsin.
Masalani yechishda Bernulli formulasidan foydalanamiz.


2- misol. Qandaydir ishlab chiharishida mahsulotning yaroqsiz bo`lish ehtimolligi 0,005 ga teng. 10.000 ta tasodifiy olingan mahsulotdan rosa 40 tasining yaroqsiz bo`lish ehtimolligi topilsin.
Bu ehtimolligni topishda Bernulli formulasidan foydalansak,

Bundan ko`rinadiki, katta n lar uchun ehtimollikni Bernulli formulasi orqali topish katta texnik qiyinchiliklarga olib kelar ekan.
Agar bir necha tajribalar o‘tkazilayotganida, har bir tajribada biror A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi boshqa tajriba natijalariga bog‘liq bo‘lmasa, bunday tajribalar bog‘liqsiz tajribalar deyiladi.

n ta bog‘liqsiz tagribalar o‘tkazilayotgan bo‘lsin. Har bir tajribada A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi va ro‘y bermasligi ehtimolligi bo‘lsin.

Masalan, 1) nishonga qarata o‘q uzish tajribasini ko‘raylik. Bu yerda A={o‘q nishonga tegdi}-muvaffaqqiyat va ={o‘q nishonga tegmadi}-muvaffaqqiyatsizlik; 2) n ta mahsulotni sifatsizlikka tekshirilayotganda A={mahsulot sifatli}-muvaffaqqiyat va ={mahsulot sifatsiz}-muvaffaqqiyatsizlik bo‘ladi.
Bu kabi tajribalarda elementar hodisalar fazosi faqat ikki elementdan iborat bo‘ladi: , bu erda -A hodisa ro‘y bermasligini, -A hodisa ro‘y berishini bildiradi. Bu hodisalarning ehtimolliklari mos ravishda p va q (p+q=1) lar orqali belgilanadi.
Agar n ta tajriba o‘tkazilayotgan bo‘lsa, u holda elementar hodisalar fazosining elementar hodisalari soni 2n ga teng bo‘ladi. Masalan, n=3 da , ya’ni to‘plam 23=8 ta elementar hodisadan iborat. Har bir hodisaning ehtimolligini ko‘paytirish teoremasiga ko‘ra hisoblash mumkin:
The Bernulli teoremasi, suyuqlikning harakatdagi xatti-harakatini tavsiflovchi matematik va fizik Daniel Bernulli o'z ishida bayon qilgan Gidrodinamika. Printsipga ko'ra, yopiq quvur orqali aylanadigan ideal suyuqlik (ishqalanish va yopishqoqliksiz) o'z yo'lida doimiy energiyaga ega bo'ladi.
Teoremani energiyani tejash printsipidan va hattoki Nyutonning harakatning ikkinchi qonunidan chiqarish mumkin. Bunga qo'shimcha ravishda, Bernulli printsipi, shuningdek, suyuqlik tezligining oshishi uning ta'siridagi bosimning pasayishini, uning potentsial energiyasining pasayishini yoki ikkalasini bir vaqtning o'zida nazarda tutadi.
Bernulli oqim tezligi oshganda bosim pasayadi degan xulosaga kelgan bo'lsa-da, haqiqat shuki, bugungi kunda Bernulli tenglamasini aslida ma'lum bo'lgan shaklda ishlab chiqqan Leonhard Eyler edi.
Qanday bo'lmasin, Bernulli tenglamasi, bu uning teoremasining matematik ifodasidan boshqa narsa emas:
v2 ∙ ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = doimiy
Ushbu ifodada v - ko'rib chiqilgan qism orqali suyuqlikning tezligi, ƿ - suyuqlikning zichligi, P - suyuqlikning bosimi, g - tortishish tezlanishining qiymati va z - yo'nalishda o'lchangan balandlik. tortishish kuchi.
Bernulli tenglamasida suyuqlik energiyasi uchta tarkibiy qismdan iborat ekanligi aniq aytilgan:
- Kinetik komponent, bu suyuqlik harakatining tezligidan kelib chiqadi.
- potentsial yoki tortishish komponenti, bu suyuqlik balandligi bilan bog'liq.
- Bosim energiyasi, bu bosim ostida bo'lgan suyuqlik natijasida u egalik qiladi.
Boshqa tomondan, Bernulli tenglamasini quyidagicha ifodalash mumkin:
Bernulli teoremasi ilm-fan, muhandislik, sport va boshqalar kabi turli sohalarda juda ko'p va turli xil qo'llanmalarga ega.
Kaminlarning dizaynida qiziqarli dastur topilgan. Baca va oyoq chiqishi o'rtasida katta bosim farqiga erishish uchun bacalar baland qilib qurilgan, buning natijasida yonish gazlarini chiqarib olish osonroq.
Albatta, Bernulli tenglamasi quvurlardagi suyuqlik oqimlari harakatini o'rganishda ham qo'llaniladi. Tenglamadan kelib chiqadiki, trubaning kesishgan maydonini kamaytirish, u orqali o'tadigan suyuqlikning tezligini oshirish uchun bosimning pasayishini ham anglatadi.

Bernulli tenglamasi aviatsiyada va Formula-1 transport vositalarida ham qo'llaniladi, agar aviatsiyada Bernulli effekti samolyotlarni ko'tarishning kelib chiqishi hisoblanadi.
Samolyot qanotlari qanotning yuqori qismida ko'proq havo oqimiga erishish uchun mo'ljallangan.

Shunday qilib, qanotning yuqori qismida havo tezligi yuqori va shuning uchun bosim past bo'ladi. Ushbu bosim farqi samolyotlarning havoda turishiga imkon beradigan vertikal ravishda yuqoriga yo'naltirilgan kuch (ko'tarish kuchi) hosil qiladi. Xuddi shunday ta'sir Formula-1 avtomashinalarining aileronlarida ham olinadi.
Mashq hal qilindi
4,2 sm kesimli quvur orqali2 suv oqimi 5,18 m / s tezlikda oqadi. Suv 9,66 m balandlikdan pastki darajaga nol balandlik bilan tushadi, shu bilan trubaning tasavvurlar maydoni 7,6 sm gacha ko'tariladi.2.
a) pastki oqimdagi suv oqimining tezligini hisoblang.
ad
b) yuqori darajadagi bosim 152000 Pa ekanligini bilib, pastki darajadagi bosimni aniqlang.
Qaror
a) Oqim saqlanishi kerakligini hisobga olib, haqiqat:
QYuqori daraja = Qpastki daraja
v1 . S1 = v2 . S2
5,18 m / s. 4,2 sm2 = v2 . 7,6 sm ^2
Buni hal qilish uchun quyidagilar olinadi:
v2 = 2.86 m / s
b) Bernulli teoremasini ikki daraja o'rtasida qo'llash va suv zichligi 1000 kg / m ekanligini hisobga olish.3 , quyidagilar olinadi:
v12 ∙ ƿ / 2 + P1 + ƿ ∙ g ∙ z1 = v22 ∙ ƿ / 2 + P2 + ƿ ∙ g ∙ z2
(1/2). 1000 kg / m3 . (5,18 m / s)2 + 152000 + 1000 kg / m3 . 10 m / s2 . 9,66 m =

= (1/2). 1000 kg / m3 . (2,86 m / s)2 + P2 + 1000 kg / m3 . 10 m / s2 . 0 m
P uchun echim2 siz:
P2 = 257926,4 Pa
Yilda matematika, Bernulli raqamlari Bn a ketma-ketlik ning ratsional sonlar ichida tez-tez uchraydigan sonlar nazariyasi. Bernulli raqamlari quyidagicha ko'rinadi (va ularni aniqlash mumkin) Teylor seriyasi ning kengayishi teginish va giperbolik tangens funktsiyalari, yilda Faolxabarning formulasi summasi uchun m- birinchi kuchlar n musbat tamsayılar, ichida Eyler - Maklaurin formulasiva ning ma'lum qiymatlari uchun ifodalarda Riemann zeta funktsiyasi.
Birinchi 20 Bernulli raqamlarining qiymatlari qo'shni jadvalda keltirilgan. Adabiyotda bu erda ko'rsatilgan ikkita konvensiya qo'llaniladi   va  ; ular faqat uchun farq qiladi n = 1, qayerda   va  . Har bir g'alati uchun n > 1, Bn = 0. Har bir juft uchun n > 0, Bn agar salbiy bo'lsa n 4 ga bo'linadi va aks holda ijobiy bo'ladi. Bernulli raqamlari - ning maxsus qiymatlari Bernulli polinomlari  , bilan   va   (Vayshteyn 2016 yil).
Bernulli raqamlari bir vaqtning o'zida shveytsariyalik matematik tomonidan topilgan Jeykob Bernulli, ularning nomi bilan nomlangan va mustaqil ravishda yapon matematikasi Seki Takakazu. Seki kashfiyoti vafotidan keyin 1712 yilda nashr etilgan (Selin 1997 yil, p. 891; Smit va Mikami 1914, p. 108) o'z ishida Katsuyō Sanpō; Bernulli ham, vafotidan keyin ham Ars Conjectandi 1713 yil Ada Lovelace"s eslatma G ustida Analitik vosita 1842 yildan boshlab an algoritm bilan Bernulli raqamlarini yaratish uchun Hammayoqnimashinasi (Menabriya 1842, Izoh G). Natijada, Bernulli raqamlari birinchi nashr etilgan kompleksning mavzusi bo'lish xususiyatiga ega kompyuter dasturi.
Birinchisining yig'indisini hisoblash usullari n musbat tamsayılar, kvadratlar va birinchi kublarning yig'indisi n musbat tamsayılar ma'lum bo'lgan, ammo haqiqiy "formulalar" mavjud emas, faqat so'zlar bilan to'liq tavsiflangan. Antik davrning buyuk matematiklari orasida ushbu muammoni ko'rib chiqish kerak edi Pifagoralar (miloddan avvalgi 572-497 yillarda, Gretsiya), Arximed (Miloddan avvalgi 287–212, Italiya), Aryabhata (476 yilda tug'ilgan, Hindiston), Abu Bakr al-Karajiy (vafoti 1019, Fors) va Abu Ali al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Xaysam (965–1039, Iroq).
XVI asr oxiri va XVII asr boshlarida matematiklar sezilarli yutuqlarga erishdilar. G'arbda Tomas Harriot (1560–1621) Angliya, Yoxann Faulxabar (1580–1635) Germaniya, Per de Fermat (1601–1665) va hamkasbi frantsuz matematikasi Blez Paskal (1623–1662) barchasi muhim rol o'ynagan.
Tomas Harriot birinchi bo'lib ramziy belgilar yordamida kuchlar yig'indisi uchun formulalarni chiqargan va yozgan, ammo u faqat to'rtinchi kuchlar yig'indisigacha hisoblagan. Yoxann Faulxabar o'zining 1631 yilida 17-hokimiyatgacha bo'lgan vakolatlar yig'indisi uchun formulalar bergan Akademiya algebrai, o'zidan oldingi har kimdan ancha yuqori, ammo u umumiy formulani keltirmadi.
1654 yilda Blez Paskal isbotladi Paskalning o'ziga xosligi ning yig'indilari bilan bog'liq pbirinchi kuchlar n uchun musbat tamsayılar p = 0, 1, 2, …, k.
Shveytsariyalik matematik Yakob Bernulli (1654–1705) yagona doimiylik borligini birinchi bo'lib anglagan B0, B1, B2,… bu barcha vakolatlarning yig'indisi uchun yagona formulani taqdim etadi (Knuth 1993 yil).
Bernulli o'zining formulasining koeffitsientlarini tez va osonlikcha hisoblash uchun zarur bo'lgan naqshni urganida quvonch hosil qildi. vhar qanday musbat tamsayı uchun th kuchlari v uning sharhidan ko'rish mumkin. U yozgan:
"Ushbu jadval yordamida birinchi 1000 raqamning o'ninchi kuchlari birlashtirilib, 91409.924.2241.424.2243.424.2241.924.2242.500 yig'indisini olishini aniqlash uchun menga yarim chorakdan kam vaqt kerak bo'ldi."
Bernulli natijasi vafotidan keyin nashr etilgan Ars Conjectandi 1713 yilda. Seki Takakazu mustaqil ravishda Bernulli raqamlarini kashf etdi va uning natijasi bir yil oldin, vafotidan keyin, 1712 yilda nashr etildi (Selin 1997 yil, p. 891). Biroq, Seki o'z uslubini doimiylar ketma-ketligiga asoslangan formula sifatida taqdim etmadi.
Bernulli kuchlari yig'indisi formulasi hozirgi kungacha eng foydali va umumlashtiriladigan formuladir. Taklifiga binoan Bernulli formulasidagi koeffitsientlar endi Bernulli raqamlari deb ataladi Avraam de Moivre.
Bernulli formulasi ba'zan chaqiriladi Faolxabarning formulasi Yoxann Faolxabarning ta'kidlashicha, u kuchlar yig'indisini hisoblashning ajoyib usullarini topgan, ammo Bernulli formulasini hech qachon aytmagan. Knutga ko'ra (Knuth 1993 yil) Faolxaber formulasining qat'iy isboti birinchi tomonidan nashr etilgan Karl Jakobi 1834 yilda (Jakobi 1834 yil).
Yakob Bernullining "Summae Potestatum", 1713 yil^[a]
Bernulli raqamlari OEIS: A164555(n) /OEIS: A027642(n) kitobda Yakob Bernulli tomonidan kiritilgan Ars Conjectandi vafotidan keyin 1713 yilda nashr etilgan 97-bet. Asosiy formulani tegishli faksimilaning ikkinchi yarmida ko'rish mumkin. Belgilangan doimiy koeffitsientlar A, B, C va D. Bernulli tomonidan hozirgi kunda keng tarqalgan yozuvlar bilan tasvirlangan A = B2, B = B4, C = B6, D. = B8. Ifoda v·v−1·v−2·v−3 degani v·(v−1)·(v−2)·(v−3) - kichik nuqtalar guruhlash belgilari sifatida ishlatiladi. Bugungi iboralar terminologiyasidan foydalangan holda tushayotgan faktorial kuchlar vk. Faktorial yozuv k! uchun yorliq sifatida 1 × 2 × … × k 100 yildan so'nggina kiritilgan. Chap tarafdagi ajralmas belgi orqaga qaytadi Gotfrid Vilgelm Leybnits 1675 yilda kim uni uzoq xat sifatida ishlatgan bo'lsa S "summa" uchun (sum).[b] Xat n chap tomonida ko'rsatkichi emas yig'ish lekin tushunish kerak bo'lgan yig'indilar oralig'ining yuqori chegarasini beradi 1, 2, …, n. Birgalikda narsalarni ijobiy tomonga birlashtirish v, bugungi kunda matematik Bernulli formulasini quyidagicha yozishi mumkin:
Ba'zi ilovalarda Bernulli raqamlarini hisoblash imkoniyati mavjud B0 orqali Bp − 3 modul p, qayerda p asosiy hisoblanadi; masalan, yo'qligini tekshirish uchun Vandiverning taxminlari uchun ushlab turadi p, yoki hatto yo'qligini aniqlash uchun p bu tartibsiz asosiy. Yuqoridagi rekursiv formulalar yordamida bunday hisoblashni amalga oshirish mumkin emas, chunki hech bo'lmaganda (ning doimiy ko'paytmasi) p2 arifmetik amallar talab qilinadi. Yaxshiyamki, tezroq usullar ishlab chiqilgan (Buhler va boshq. 2001 yil) faqat talab qiladi O(p (log p)2) operatsiyalar (qarang katta O yozuv).
Devid Xarvi (Xarvi 2010 yil) Bernulli sonlarini hisoblash yordamida hisoblash algoritmini tavsiflaydi Bn modul p ko'plab kichik sonlar uchun pva keyin qayta qurish Bn orqali Xitoyning qolgan teoremasi. Harvi, deb yozadi asimptotik vaqtning murakkabligi ushbu algoritmning O(n2 log (n)2 + ε) va buni da'vo qilmoqda amalga oshirish boshqa usullarga asoslangan dasturlardan sezilarli darajada tezroq. Ushbu dasturdan foydalanib, Harvey hisoblab chiqdi Bn uchun n = 108. Harvining amalga oshirilishi kiritilgan SageMath 3.1 versiyasidan beri. Bungacha Bernd Kellner (Kellner 2002 yil) hisoblangan Bn to'liq aniqlik bilan n = 106 2002 yil dekabrda va Oleksandr Pavlik (Pavlik 2008 yil) uchun n = 107 bilan Matematik 2008 yil aprel oyida.


Adabiyotlar
Bernulli printsipi. (nd). Vikipediyada. 2018 yil 12-may kuni es.wikipedia.org saytidan olindi.
Bernulli printsipi. (nd). Vikipediyada. 2018 yil 12-may kuni en.wikipedia.org saytidan olindi.
Batchelor, G.K. (1967). Suyuqlik dinamikasiga kirish. Kembrij universiteti matbuoti.
Qo'zi, H. (1993). Gidrodinamika (6-nashr). Kembrij universiteti matbuoti.
Mott, Robert (1996). Amaliy suyuqlik mexanikasi (4-nashr). Meksika: Pearson ta'limi.