Bernulli formulasi

Teorema. ta tajribalarning bog`lanmagan bo`lishlari uchun, har qanday va har qanday lar uchun bo`lishi zarur va yetarli.
Bog`liqmas va bog`liq tajribalarga misollar keltiramiz.
1-misol. Tanga tashlanganda gerb tomonini yuqoriga qarab tushish hodisasini, gerb tomonini yuqoriga qarab tushmaslik hodisasini desak, tangani tashlash tajribalari o`zaro bog`liq bo`lmaydi;
2-misol. Yashikda ta oq va ta qora shar bor. Yashikdan olingan shar yana qaytarib solinsa, bu holda yashikdan olingan har bir sharning oq chiqish ehtimoli ga va qora chiqish ehtimoli gat eng. Har bir tajribadan so`ng olingan shar yashikka qytarib solinsa, tajriblar ketma-ketligi bir-biriga bog`liq bo`lmaydi. Agar yashikdan olingan shar yashikka qaytarib tashlansa, bu holda o`tkazilgan tjribalar o`zaro bog`liq bo`ladi. Haqiqatan ham, agar yashikdan olingn shar oq bo`lsa, yashikdan olingan ikkinchi sharning oq chiqish ehtimoli gat eng bo`ladi.
Faraz qilaylik ta bog`lanmagan tajribalar o`tkazilayotgan bo`lsin, har bir tajribada hodisaning ro`y berish ehtimolligi o`zgarmas va ga teng, ro`y bermaslik ehtimolligi ham o`zgarmas bo`lib ga teng .
Bu bog`lanmagan ta tajribalarda hodisasining rosa m marta, qolgan n-m ta tajribalarda hodisaning ro`y berish ehtimolligini bilan belgilaymiz.
ehtimollik uchun formula keltirib chiharamiz.
Faraz qilaylik A hodisasi burinchi ta tajribada ro`y bersin, qolgan ta tajribada hodisasi ro`y bersin, ya`ni
Ko`paytirish teoremasiga asosan, bu holning ehtimolligi ga teng bo`ladi.
ta tajribalarda hodisaning rosa marta ro`y berishiga imkon tug`diruvchi hollar soni

ga teng.
Qo`shish teoremasiga asosan
(1)
Bu formulaga Bernulli formulasi deyiladi.

ehtimollar ning binom yoyilmasidagi lar oldidagi koeffitsentlarga teng bo`lganligi uchun ehtimollarga ehtimollikning binomial taqsimot qonuni deyiladi.
Faraz qilaylik, har bir tajribada ta birgalikda bo`lmagan hodisalarning bittasi ro`y berishi mumkin, har bir tajribada hodisasining ro`y berish ehtimolligi ga teng bo`lsin.
ta tajribalarda hodisaning , hodisaning ,…, hodisaning marta ro`y berish ehtimolligini bilan belgilaymiz .
Bu ehtimollik quyidagiga teng bo`ladi.
(2)
Bu ehtimollik polinomial yoyilmada oldidagi koeffitsentga teng bo`ladi.
Endi ehtimollikni o`zgarmas da, m ning funksiyasi sifatida o`rganamiz. uchun Bernulli formulasiga asosan

Oxiri tenglikdan ko`rinadiki,

ya`ni

bo`lsa bo`ladi .
bo`lsa , agar bo`lsa bo`ladi. Bulardan ko`rinadiki ehtimollik o`sishi bilan oldin o`sadi, maksimumga erishadi, ning keyingi o`sishida kamayib boradi .
Agar butun son bo`lsa, ning maksimal qiymati ikkita bo`ladi, va .
Agar butun son bo`lmasa, dan katta eng kichik butun sonda maksimumga erishadi. Agar qaralayotgan hodisaning eng katta ehtimoli yuz berishlari sonini bilan belgilasak, umumiy holda quyidagi formula o`rinli bo`ladi

1- misol. Tanga 5 marta tashlanganda 2 marta gerbli tomonni tushish ehtimolligi topilsin.
Masalani yechishda Bernulli formulasidan foydalanamiz.


2- misol. Qandaydir ishlab chiharishida mahsulotning yaroqsiz bo`lish ehtimolligi 0,005 ga teng. 10.000 ta tasodifiy olingan mahsulotdan rosa 40 tasining yaroqsiz bo`lish ehtimolligi topilsin.
Bu ehtimolligni topishda Bernulli formulasidan foydalansak,

Bundan ko`rinadiki, katta n lar uchun ehtimollikni Bernulli formulasi orqali topish katta texnik qiyinchiliklarga olib kelar ekan.