Bernulli sxemasi Muqrrarlik prinsipi va katta sonlar qonuni

2. MUQRRARLIK PRINSIPI VA KATTA SONLAR QONUNI


Muqarrarlik prinsipi va ommaviy tajribalar. Biror tasodifiy hodisani kuzatar ekanmiz, ehtimolligi aniq bо‘lgan holda ham, uning bitta tajribada rо‘y berish yoki bermasligi haqida aniq xulosa berish mumkin emas. (Bu holda va bо‘lgan hollar istisno etiladi.) Ta’kidlash о‘rinliki, agar ehtimollik birga yaqin bо‘lsa, u holda teskari hodisaning ehtimolligi nolga yaqin bо‘ladi; shunday qilib, bir hol boshqasiga keltirib olinishi mumkin. Agar ehtimollik juda kichik son bо‘lsa, qaralayotgan yagona tajribada hodisaning rо‘y bermasligini tasdiqlash mumkin. Shu nuqtai nazaridan muqarrar hodisalar amaliy muqarrar hodisalar deb hisoblanadi.
Shunday qilib, amaliyotda quyidagi prinsipga asoslanish mumkin:
agar hodisaning ehtimolligi birga yaqin bо‘lsa, u holda amaliyotda yagona tajribada shunga ishonch bilan qarash mumkinki, hodisa albatta rо‘y beradi.
Demak, ehtimolliklar nazariyasining amaliy tadbiqlarida ehtimolligi nolga yoki birga yaqin bо‘lgan hodisalar alohida va muhim ahamiyatga ega.
Muvaffaqiyat ehtimolligi bо‘lgan Bernulli tajribalarining cheksiz ketma-ketligini qaraylik. tasodifiy miqdor dastlabki ta tajribada muvaffaqiyatlar sonini bildirsin. U holda miqdor bu tajribalarda muvaffaqiyatlar chastotasini ifodalaydi. Klassik sxemaga kо‘ra ning miqdori cheksiz oshganda bu chastota ehtimollikka yaqinlashadi:
. (2.1)
Bu taqribiy tenglikning chap tomoni tasodifiy miqdor, о‘ng tomoni esa aniq son. Endi bu yaqinlashishning aniq ma’nosini topish masalasi paydo bо‘ladi. Bu masalaning yechimini biroz keyinroqqa qoldirib shuni ayta olamizki, oshgan sari muvaffaqiyatlar chastotasi ning (qaysidir ma’noda) ehtimollikka yaqinlashib borish hodisasi amaliy muqarrar hodisadir.
Yuqoridagi misolda biz ommaviy tajribalar bilan ish kо‘rdik. Shunday qilib, muqarrarlik prinsipi alohida tajribalar bilan emas, ommaviy tajribalar bilan ish kо‘rganda о‘rinli bо‘lar ekan. Nazariya esa hech qachon tajribalar natijalariga asoslanmaydi, balki u (2.1) tipidagi tasdiqlarning aniq mohiyatini ochib berish, bunday tasdiqlarning bajarilishini ta’minlovchi shartlarni о‘rnatish, va oqibatda bu tasdiqlarni amaliyotga tadbiq etish imkoniyatlarini ta’minlashni maqsad qiladi.
Ushbu bobda asosida muqarrarlik prinsipi yotuvchi bir muhim ehtimoliy qonuniyatni о‘rganamiz. Bu qonuniyat ehtimolliklar nazariyasida katta sonlar qonuni deb nomlanadi.
Chebishev tengsizligi. Bu paragrafda biz bitta yordamchi tengsizlikni о‘rganamiz. Bu tengsizlik Chebishev tengsizligi deb nomlanadi.
Teorema 2.1. Ehtimollik fazosida berilgan tasodifiy miqdor chekli matematik kutilma va dispersiyaga ega bо‘lsin. U holda miqdorni matematik kutilmasidan chetlashishi absolyut qiymatining oldindan berilgan har qanday musbat sondan katta bо‘lish ehtimolligi miqdordan kichik, ya’ni
. (2.2)
Isbot. Qaralayotgan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini deb belgilaylik: . U holda tasodifiy miqdor dispersiyasining ta’rifiga kо‘ra
.
Ixtiyoriy musbat soni olib, integrallash sohasini quyidagicha ikki qismga ajratamiz:
.
Aniq integralning xossasidan foydalansak,
.
Bu tengsizlikda integrallash sohasi va va
. (2.3)
(2.3) munosabatni hosil qilishda biz
.
ekanligidan foydalandik.
Teorema isbot bо‘ldi.
Izoh. Agar (2.2) tengsizlikda desak, u holda va tengsizlik quyidagi kо‘rinishga keladi:
. (2.4)
Yuqoridagi Teorema 2.1 ning isboti jarayoniga e’tibor qaratsak, shu narsaga ishonch qilamizki, (2.4) tengsizlik chekli dispersiyaga (va demak, kvadrati chekli matematik kutilishga) ega bо‘lgan har qanday tasodifiy miqdor uchun о‘rinli. Bu holda miqdor , kо‘rinishda bо‘lishi shart emas. Shunday qilib, biz Chebishev tengsizligining quyidagi umumlashmasiga ega bо‘lamiz.
Teorema 2.2. Ehtimollik fazosida berilgan tasodifiy miqdorning kvadrati chekli matematik kutilmaga ega, ya’ni bо‘lsin. U holda miqdor absolyut qiymatining oldindan berilgan har qanday musbat sondan katta bо‘lish ehtimolligi miqdordan kichik, ya’ni (2.4) tengsizlik о‘rinli.
Agar (2.4) tengsizlikda desak, bо‘lganda (2.2) tengsizlikka kelamiz. Shuning uchun biz bundan keyin (2.4) munosabatni ham Chebishev tengsizligi deb ataymiz.
Teorema 2.3 (Chebishevning katta sonlar qonuni). Ehtimollik fazosida juft-jufti bilan bog‘liqsiz bо‘lgan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bо‘lib, bu miqdorlarning dispersiyalari tekis chegaralangan, ya’ni biror о‘zgarmas soni topilib, , bо‘lsin. Ushbu

tasodifiy miqdor uchun tuzilgan ketma-ketlik da taqsimot bо‘yicha nolga yaqinlashadi:
. (2.5)
Isbot. Taqsimot bо‘yicha yaqinlashishning ma’nosi shuki, har qanday soni uchun
.
Teorema shartiga kо‘ra tasodifiy miqdorlar juft-jufti bilan bog‘liqsiz va shunday о‘zgarmas soni topiladiki, . U holda dispersiyaning xossalariga kо‘ra quyidagi munosabatlarga ega bо‘lamiz:

Demak, teorema shartlarida . Bu baho va (2.2) shakldagi Chebishev tengsizligini birgalikda qarasak,
.
Deyarli ravshanki, har qanday tayinlangan son uchun . Shuning uchun
.
Oxirgi yaqinlashish (2.5) tasdiqqa teng kuchli.
Teorema isbot bо‘ldi.
Quyidagi tasdiqni Teorema 2.4. ning xususiy holi sifatida qaraymiz.