Bernulli sxemasi Muqrrarlik prinsipi va katta sonlar qonuni

Teorema 2.4. Ehtimollik fazosida berilgan tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz va bir xil taqsimlangan bо‘lib, ular chekli matematik kutilma va dispersiyaga ega bо‘lsin. Ushbu

tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi da taqsimot bо‘yicha nolga yaqinlashadi, ya’ni
.
Darhaqiqat, Ushbu holda ham Teorema 2.3. ning barcha shartlari bajariladi va
.
Shuning uchun
.
Oxirgi munosabat teorema tasdig‘iga teng kuchli.
Teorema isbot bо‘ldi.
Teorema 2.5 (Bernullining katta sonlar qonuni). Muvaffaqiyat ehtimolligi bо‘lgan Bernulli tajribalari seriyasida tasodifiy miqdor mqvaffaqiyatlar sonini ifodalasin. U holda tajribalar sonining cheksiz oshishi bilan muvaffaqiyatlar nisbiy chastotasi taqsimot bо‘yicha ehtimollikka yaqinlashadi, ya’ni
.
Isbot. Ushbu tasodifiy miqdor tajribada muvaffaqiyatga erishilsa, bir qiymatni, aks holda nol qiymatni qabul qilsin. U holda deyarli ravshanki,
, ,
va
.
Bu yig‘indidagi miqdorlar о‘zaro bog‘liqsiz va bir xil taqsimlangan bо‘lib, chekli matematik kutilma va dispersiyaga ega. U holda

miqdor uchun
.
Shunday qilib, Teorema 2.4 ning barcha shartlari bajariladi. Va bu teoremaning tasdig‘iga kо‘ra
.
Teorema isbot bо‘ldi.
Shunday qilib, yuqorida isbotlangan Bernullining katta sonlar qonuni (Teorema 2.5) Teorema 2.4 ning va demak, Chebishev katta sonlar qonunining (Teorema 2.3) xususiy holi ekan.
Quyida biz Xinchinning katta sonlar qonunini isbotsiz keltiramiz.
Teorema 2.6 (Xinchinning katta sonlar qonuni). Ehtimollik fazosida berilgan tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz va bir xil taqsimlangan bо‘lib, ular chekli matematik kutilmaga ega bо‘lsin. U holda ushbu

tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi da taqsimot bо‘yicha nolga yaqinlashadi, ya’ni
.
Katta sonlar qonuni ehtimolliklar nazariyasining tadbiqlari bilan bog‘liq masalalarda muhim amaliy ahamiyatga ega. Bu qonun (2.1) kо‘rinishidagi taqribiy formulalarga yanada aniqroq ma’no berish imkonini beradi. Bundan tashqari katta sonlar qonuni
(2.6)
arifmetik о‘rta qiymatning ehtimoliy ma’nosini ochib beradi. Darhaqiqat, ushbu miqdorlar biror о‘zgarmas fizik miqdorni marta bog‘liqsiz о‘lchashlar natijalari bо‘lsin. Bu miqdorlarning har biri soni va о‘lchashlarning biror tasodifiy xatoliklari yig‘indisidan iborat. Shuning uchun ular tasodifiy miqdorlardir. Amaliy masalalarda miqdorning taqribiy qiymati sifatida har doim marta bog‘liqsiz о‘lchashlar natijalarining (2.6) kо‘rinishidagi о‘rta arifmetik qiymati olinadi, ya’ni
. (2.7)
Tabiiyki, qaralayotgan tasodifiy miqdorlar о‘zaro bog‘liqsiz va bir xil taqsimlanagan. Faraz qilaylik (bu sistematik xatolar yо‘qligi haqidagi gipoteza) va (yuqoridagi Teorema 2.6 da biz bu shartning ortiqcha ekanligini kо‘ramiz) bо‘lsin. U holda о‘lchash natijalariga nisbatan Teorema 2.4 yoki Teorema 2.6 tasdiqlarini tadbiq etish mumkin. Bu teoremalar natijalariga kо‘ra har qanday tayinlangan son uchun

yoki
.
Shunday qilib, tayinlangan soni qanday bо‘lmasin, nomer yetarlicha katta bо‘lganda tengsizlikning ehtimolligi birga istalgancha yaqin boradi, yoki ushbu hodisani tajribalar soni yetarlicha katta bо‘lganda amaliy muqarrar hodisa deb hisoblash mumkin. Yuqoridagi (2.7) taqribiy tenglik aynan shu ma’noda talqin etilishi lozim.
Xuddi shunga о‘xshash (2.1) kо‘rinishidagi taqribiy tenglikni ham tahlil etish mumkin. Bu tenglikka, Teorema 2.5 ga kо‘ra, quyidagicha ma’no beramiz: har qanday tayinlangan son olinganda ham ushbu

hodisa tajribalar soni yetarlicha katta bо‘lganda amaliy muqarrar hodisadir.