Bernulli tenglamasi. To’la differensialli tenglamalar

Bernulli tenglamasi. To’la differensialli tenglamalar.

R e j a

1. 
   Bernulli tenglamasi.
   

2. To’la differensialli tenglamalar tushunchasi.
3. Eyler –Dalamber sharti.
4. Integrallovchi ko’paytuvchi haqida tushuncha.

Bernulli tenglamasi.

Ushbu
+p(x)y=f (x)yⁿ (n0,1) (1)
ko’rinishdagi tenglama Bernulli tenglamasi deyiladi.
Bernulli tenglamasini chiziqli tenglamaga keltirish mumkin. Buning uchun (1) ni yⁿ ga bo’lamiz, u holda
y^-n +p(x)y^1-n=f (x) (2)
tenglamani olamiz. Bunda
y^1-n=z (3)
almashtirish bajaramiz.(3) ni (2) ga qo’yish uchun ni topamiz. Ya’ni (3) dan hosila olib,
(4)
Endi (4) va (3) ni (2) ga qo’yamiz

yoki

Bu chiziqli tenglama, ushbu chiziqli tenglamani yuqoridagi usulda yechib, so’ng yana (x,y) o’zgaruvchilarga o’tsak Bernulli tenglamasining yechimi quyidagicha ko’rinishga ega bo’ladi.
(5)
MISOL: tenglamani yeching. Bu Bernulli tenglamasi bo’lib n=2, p(x)= , f(x)= . Tenglamani y² ga bo’lib yuboramiz

Bu yerda y^-1=z ( ) almashtirish qilamiz, hosila olsak, va tenglamaga qo’yamiz

soddalashtirsak
.
Bu chiziqli tenglamani o’zgarmasni variatsiyallash usulida yechib

yechimga ega bo’lamiz. y o’zgaruvchiga o’tsak

umumiy yechim hosil bo’ladi.


To’la differensialli tenglamalar.
Bizga
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (6)
ko’rinishidagi tenglama berilgan bo’lsin. Bunda M(x,y), N(x,y) funksiyalar biror D to’plamda aniqlangan va uzluksiz.
Agar (6) tenglamani chap tomoni biror F(x,y) funksiyani to’liq differensiali bo’lsa, ya’ni
dF=M(x,y)dx+N(x,y)dy

u holda (6) tenglama to’liq differensialli tenglama deyiladi.

Faraz qilaylik (6) tenglama to’liq differensialli tenglama bo’lsin, u holda M(x,y)dx+N(x,y)dy=dF= (7)
tenglik o’rinli. Bundan esa
=M(x,y), =N(x,y)
ekanligi kelib chiqadi. So’ngi tengliklarni mos holda y va x bo’yicha differensiallaymiz
(8)
Matematik analiz kursidan ma’lumki aralash hosilalar uzluksiz, u holda hosila olish tartibiga bog’liq bo’lmaydi. Shuning uchun (8)ni chap tomonlari teng bo’ladi. Demak, o’ng tomonlari ham teng
(9)
(9) shart (6) tenglamani to’liq differensialli tenglama bo’lishi uchun zaruriy va yetarli shart bo’lib Eyler-Dalamber sharti deb ataladi.
(6) tenglamani integrallash quyidagicha amalga oshiriladi. (8)ni birinchi ayniyatini olib x bo’yicha integrallaymiz, ya’ni
=M(x,y)
(10)
x₀ – D sohadan olingan biror nuqta. Bundan y bo’yicha hosila olamiz

yoki M(x,y) funksiya aniqlangan soha bir bog’lamli bo’lganligi uchun hosila bilan integral tartibini almashtirish mumkin

(8)ni ikkinchi tengligidan foydalanib , o’rniga N(x,y) qo’yamiz

Bu yerda (9) tenglikdan foydalansak ,

tenglik o’rinli bo’ladi. Integrallab
N(x,y)-N(x₀,y)+ =N(x,y)
topamiz. Bundan esa
=N(x₀,y)
yoki integrallab
(11)
formulaga ega bo’lamiz, c₁=const, (u) ni ifodasini (10) ifodaga qo’yib,

ko’rinishda izlanayotgan funksiyani topamiz. Bu formulada c₁=0 deb, quyidagi ko’rinishda yozamiz.
(12)
(12) ifoda (6) tenglamaning umumiy integralini ifodalaydi.
ESLATMA: (8) tenglikni ikkinchi tengligini olib u bo’yicha integrallab, yuqoridagi ishlarni bajarsak, u holda umumiy integral

ko’rinishda bo’ladi.

MISOL:

Bu funksiya berilgan tenglamaning umumiy integrali.
Yuqorida to’liq differensialli tenglama to’g’risida fikr yuritdik, agar Eyler-Dalamber sharti bajarilmasa, u holda tenglama to’liq differensialli bo’lmaydi. Ba’zi hollarda tenglamani to’liq differensialli tenglamaga keltirish mumkin.
Agar (6) tenglamaning chap tomoni to’liq differensialli bo’lmasa shunday (x,y)0, (x,y)D funksiya topish mumkinki, tenglamaning chap tomonini shu funksiyaga ko’paytirilsa, to’liq differensialli tenglama hosil bo’ladi, ya’ni
dF= Mdx+ Ndy (13)
Shunday xossaga ega bo’lgan (x,y) funksiyaga integrallovchi ko’paytuvchi deyiladi.
F(x,y) funksiyaga
M (x,y)dx+N(x,y)dy=0 (14)
tenglamaning integrali deyiladi
Faraz qilaylik, M va N funksiyalar M_y,N_y hosilalari bilan uzluksiz, u holda Eyler-Dalamber shartiga ko’ra
(15)
tenglik o’rinli, bundan ko’rinadiki, M, N lar birinchi tartibli hosilalari bilan uzluksiz. (15) ni yoyib yozasak.

yoki
(16)
ko’rinishga keladi. Bu (x,y) funksiyaga nisbatan xususiy hosilali birinchi tartibli tenglama bo’lib, bu tenglamani yechish oson emas. Shuning uchun ba’zi xususiy hollarini ko’rib chiqamiz.
1-hol: bo’lsin. U holda (16) da bo’ladi va

ko’rinishga ega bo’ladi. Bundan (N0 ) tenglikni olamiz.
ekanligidan foydalanib
belgilash kiritsak,


yoki
tenglamaga kelamiz. Uni integrallab

yechimga ega bo’lamiz. c – ixtiyoriy o’zgarmas son ekanligidan c=1 deb olsak
(17)
integrallovchi ko’paytuvchining (10) ko’rinishiga ega bo’lamiz.
(17) ni (14) ga ko’paytirsak, to’la differensialli tenglamaga kelamiz.
2-hol: bo’lsin, unda (16) tenglik

ko’rinishni oladi. Bunda

belgilash kiritib, 1-holdagi kabi fikr yuritib,

integrallovchi ko’paytuvchi ko’rinishini olamiz.
3-hol: = (w(x,y)) ko’rinishda bo’lsin. U holda (9) tenglik

ko’rinishga keladi. So’nggi tenglikdan

ifodani hosil qilib va ung tomonini (w) funksiya bilan belgilasak,

ko’rinishdagi integrallovchi ko’paytuvchini topamiz.
Xususiy holda agar w(x,y)=xy bo’lsa:
a) ga teng
(bunda )
b) agar w(x,y)=x+y bo’lsa,

ko’rinishda bo’ladi, (bunda )
ESLATMA: (x,y) integrallovchi ko’paytuvchini bilgan holda umumiy va maxsus yechimlar topiladi. Haqiqatdan ham (14) tenglama berilgan bo’lib, (x,y) uning integrallovchi ko’paytuvchisi bo’lsa
dF= Mdx+ Ndy
tenglik o’rinli, bundan
(Mdx+Ndy)=dF
yoki
(Mdx+Ndy)=
buni (15) tenglamaga qo’ysak, =0 tenglikka ega bo’lamiz, hamda
=0, dF=0 (18)
tengliklarga kelamiz, (18)dan
F=c (c=const)
umumiy integralni va =0 dan maxsus yechimni olishimiz mumkin.