Бернулли тенгламаси

Оддий шаклдаги дифференсиал тенглама :
�′+�(�)�=�(�)��,�≠0,1
Бернулли тенгламаси дейилади (мисол учун �=0  ёки �=1  бир жинсли ёки бир жинсли чизиқли тенгламани оламиз).
Да �=2  Риccати тенгламасининг махсус ҳолатидир. Ушбу бир жинсли тенгламани 1695-йилда нашр этган Жейкоб Бернулли шарафига номланган.
Бу тенгламани чизиқли тенгламага туширувчи алмаштириш ёрдамида ечиш усулини унинг акаси Иоган Бернулли 1697-йилда ечимини топган^[1].
Ечиш усули[edit | edit source]
Биринчи усул[edit | edit source]
Тенгламанинг барча шартларини қуйидагигага бўлинг
��,
оламиз
�����−�+�(�)�1−�=�(�).
Ўзгартиришни амалга оширамиз
�=�1−�
ва фарқлаш орқали биз қуйидагиларни оламиз:
����=(1−�)�−�����.
Бу тенглама чизиқли тенгламага келтирамиз:
����+(1−�)�(�)�=(1−�)�(�)
ва Лагранж усули (доимий ўзгариш) ёки интеграллаштирувчи омил усуллари билан эчилиш ҳам мумкин.
Иккинчи усул[edit | edit source]
Келинг, алмаштириш усули орқали алмаширамиз
�=��,
кейин:
�˙�+�(�˙+�(�)�)=�(�)(��)�.
�(�)≢0  шундай деб оламиз;
�˙+�(�)�=0,
бунинг учун 1-тартибдаги ажратиладиган ўзгарувчилар билан тенгламани ечиш кифоя бўлади. Шундан сўнг, аниқлаш учун �  тенгламани оламиз �˙��=�(�)��−1  ажраладиган ўзгарувчиларга эга тенгламадир.
Мисол учун[edit | edit source]
Тенглама
�′−2��=−�2�2
�2, бўлиб оламиз:
�′�−2−2��−1=−�2.
Ўзгарувчиларнинг ўзгариши оламиз
�=1�
бизга берилган:
�′=−�′�2,
�′+2��=�2.
�(�)=�−2∫1���=�−2.
�(�) ga bo'ling ,
�′�2+2��=�4,
∫(��2)′��=∫�4��
��2=15�5+�
1��2=15�5+�.
Натижа:
�=�215�5+�.
Қо'шимча ма'лумот :
Бернули тенгламаси фақат математика ёки алгебрада эмас физикада ҳам муҳим орин тутади.Бернули тенгламаси ёрдамида физикада бу тенглама сизга ихтиёрий ўлчамдаги найда ҳаракатланаётган суюқлик ҳаракатини таҳлил қилиш имконини беради.