Bezu teoremasi va uning amaliy tadbiqlari

Bezu teoremasi va uning amaliy tadbiqlari
P(x) ko’phadni x-α ikkihadga bo’lganda bo’linmada Q(x), qoldiqda R(x) qolsin:
P(x)=( x-α) Q(x)+ R(x). (4.1)
Agar bu munosabatga x=α qo’yilsa, P(α)=0· Q(α)+ R(α)= R(α)=r hosil bo’ladi. Shu tariqa ushbu teorema isbotlanadi:
4.1-teorema. (Bezu teoremasi). P(x)= α₀xⁿ+ α₁x^n-1+…+ α_n-1x+ α_n(α 0) ko’phadni x-α ga bo’lishdan chiqadigan r qoldiq shu ko’phadning x= α dagi qiymatiga teng, r=P(α).
Isboti. Qoldiqli bo’lish haqidagi teoremaga ko’ra
f(x)=(x-γ)·g(x)+r(x)
o’rinli bunda r(x) nolinchi darajali yoke nol ko’phad x=γ qiymatni bersak f(γ)=0·g(x)+r(γ)
r(γ)=f(γ) teorema isbotlandi.
Masalan, 1) x⁵+x+20 ni x+2 ga bo’lishdan chiqadigan qoldiq
r=(-2)⁵+(-2)+20=-14;
2) x⁵+x+34 ni x+2 ga bo’lishdan chiqadigan qoldiq r=(-2)⁵+(-2)+34=0.
Demak, x=-2 soni shu ko’phadning ildizi.
Natijalar. n N bo’lganda:

1. 
   xⁿ- αⁿ ikkihad x-α ga bo’linadi. Haqiqatan, P(α)= αⁿ- αⁿ=0;
   
2. 
   xⁿ+ αⁿ ikkihad x-α ga bo’linmaydi. Haqiqatan, P(α)= αⁿ+ αⁿ=2xⁿ 0;
   
3. 
   x²ⁿ- α²ⁿ ikkihad x+α ga bo’linadi. Haqiqatan, P(-α)= (-α)²ⁿ- α²ⁿ=0;
   
4. 
   x²ⁿ⁺¹- α²ⁿ⁺¹ ikkihad x+α ga bo’linmaydi. Haqiqatan, P(-α)= (-α)²ⁿ⁺¹- α²ⁿ⁺¹=-2α²ⁿ⁺¹ 0;
   
5. 
   x²ⁿ⁺¹+ α²ⁿ⁺¹ ikkihad x+α ga bo’linadi. Haqiqatan, P(-α)= (-α)²ⁿ⁺¹+ α²ⁿ⁺¹=0;
   
6. 
   x²ⁿ+ α²ⁿ ikkihad x+α ga bo’linmaydi. Haqiqatan, P(-α)= α²ⁿ+ α²ⁿ=2α²ⁿ 0.
   

Bo’lish bajariladigan hollarda bo’linmalarning ko’rinishini aniqlaymiz:
x⁵- α⁵=(x-α)(x⁴+αx³+α²x²+α³x+α⁴);
x⁵- α⁵=(x+α)(x⁴-αx³+α²x²-α³x+α⁴);
x⁶- α⁶=(x-α)(x⁵+αx⁴+α²x³+α³x²+α⁴x+ α⁵);
x⁶+ α⁶=(x+α)(x⁵-αx⁴+α²x³-α³x²+α⁴x- α⁵).
Bulardan ko’rinadiki, bo’linma albatta bir jinsli ko’phad bo’lib,x ning darajalari kamayib, α ning darajalarida o’sish tartibida joylashgan va agar bo’luvchi α+x bo’lsa , koeffitsiyentlar +1 va -1 almashib keladi, agar bo’luvchi x-α bo’lsa ,bo’linmada hosil bo’lgan ko’phadning koeffitsiyentlari 1 ga teng bo’ladi. Bu xulosalarni istagan darajali ko’phadlar uchun umumlashtirish mumkin.