Биномиальное распределение
Download 332.18 Kb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО РФ ПО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕФЕРАТ
на тему «Биномиальное распределение» Выполнил: студентка группы АБ-87 Нецветаев Т.М. Новосибирск, 2010г. Содержание Введение
1.1 Функция распределения и плотность распределения 1.2 Характеристики случайных величин 2. Биномиальное распределение 2.1 Свойства биномиального распределения 2.2 Аппроксимация биномиального распределения 2.3 Применение биномиального распределения Заключение Литература Введение
Человечество всегда стремилось к некоторого рода предсказаниям. Любая наука основана на этом. Однако предвидение фактов не может быть абсолютным, каким бы обоснованным оно не казалось. У нас не может быть абсолютной уверенности в том, что наше предвидение не будет опровергнуто опытом.
1. Распределения случайных величин Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причем появление того или иного значения этой величины представляет собой случайное событие. Распределение числовой случайной величины – это функция, которая однозначно определяет вероятность того, что случайная величина принимает заданное значение или принадлежит к некоторому заданному интервалу. Первое – если случайная величина принимает конечное число значений. Тогда распределение задается функцией Р(Х = х), ставящей каждому возможному значению х случайной величины Х вероятность того, что Х = х. Второе – если случайная величина принимает бесконечно много значений. Это возможно лишь тогда, когда вероятностное пространство, на котором определена случайная величина, состоит из бесконечного числа элементарных событий. Тогда распределение задается набором вероятностей P(a · в виде формулы; · в виде таблицы значений величины и соответствующих им вероятностей; · в виде диаграммы или, как ее иногда называют, гистограммы распределения; Пример для нормального распределения: Формула (Функция распределения): математический распределение случайный величина Гистограмма распределения: 1.1 Функция распределения и плотность распределения Функция распределения - однозначно задаёт распределение случайной величины или случайного вектора. Функция распределения полностью характеризует случайную величину, однако, имеет один недостаток. По функции распределения трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или иной точки числовой оси. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x). Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема. Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов. 1.2 Характеристики случайных величин Математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности. С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Математическое ожидание имеет простой физический смысл: если на прямой разместить единичную массу, поместив в точку аi массу pi (для дискретного распределения), или «размазав» ее с плотностью fξ(x) (для абсолютно непрерывного распределения), то точка M(x) есть координата «центра тяжести» прямой. Дисперсия. Дисперсия случайной величины— мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Физический смысл в том, что если говорить о распределении случайной величины, как о распределении единичной массы по невесомому стержню, то дисперсия есть в точности момент инерции этого стержня, закрепленного в центре тяжести. Среднеквадратическое отклонение. В теории вероятностей и статистике наиболее распространенный показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания. Производящая функция Нахождение важнейших числовых характеристик д.с.в. С целыми, неотрицательными значениями удобно производить с помощью производящих функций. Понятие производящей функции нам потребуется при выводке числовых характеристик биномиального распределения. Пусть д.с.в. Х принемает значения 0,1,2,..,k с вероятностями p0,p1,p2,..,pk=P(x =k) Производящей функцией для д.с.в Х называется функция вида: где z — произвольный параметр, 0 < z ≤ 1. Отметим, что коэффициентами степенного ряда являются вероятности закона распределения д.с.в. Х. Если мы продифференцируем по z производную функцию, получим следующее выражение Тогда производящая функция в точке z=1 имеет вид: Взяв вторую производную от функции и положив в нее z = 1, мы получим Полученные формулы можно использовать для нахождения математического ожидания и дисперсии рассматриваемого распределения, что мы применим при описании характеристик биномиального распределения. 2. Биномиальное распределение Биномиальное распределение (этот термин был впервые использован в работе Yule, 1911 г.) возникает в тех случаях, когда ставится вопрос: сколько раз происходит некоторое событие в серии из определенного числа независимых наблюдений (опытов), выполняемых в одинаковых условиях. Биномиальное распределение возникло из наблюдений за простейшей азартной игрой Ч бросание правильной монеты. Во многих ситуациях эта модель служит хорошим первым приближением для более сложных игр и случайных процессов, возникающих при игре на бирже. Замечательно, что существенные черты многих сложных процессов можно понять, исходя из простой биномиальной модели. Свое название она получила, от того, что значения P( m, n)являются членами в разложении (p + q) n по формуле бинома Ньютона Поскольку p + q = 1, то Эта формула просто иллюстрирует аксиому теории вероятностей, cогласно которой вероятность достоверного события равна единице. Биномиальное распределение может обозначатся как β(m | n,p). Где: n — число испытаний. З -вероятность успеха (Схема Бернулли) m[0;n]. Дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение, если она принимает значения 0,1,2,3,4..,n, с вероятностями Случайная величина Х, распределенная по биномиальному закону, является числом успехов с вероятностью p в схеме Бернулли проведения n независимых опытов Распределение дискретной случайной величины , имеющей биномиальное распределение, имеет вид: Контроль вероятности осуществляется по формуле: Гистограмма биномиального распределения Числовые характеристики биномиального распределения Функция распределения с.в. Х, распределенной по биномиальному закону. Производящей функцией биномиального распределения является: Возьмем первую и вторую производную от производящей функции, для нахождения числовых характеристик 2.1 Свойства биномиального распределения Пусть X случайная величина, подчиненная биномиальному закону распределения. Тогда соответствующая ей последовательность вероятностей может иметь один из следующих трех видов: a) Нуль является наиболее вероятным значением X. Кроме нуля, наиболее вероятным значением может быть еще единица, так что . Оставшиеся члены последовательности монотонно убывают. Наименее вероятным значением X является n. b) Наиболее вероятным значение X является n. Кроме n , наиболее вероятным значением может быть еще n-1. Оставшиеся члены последовательности монотонно возрастают от 0 до n-1. Наименее вероятным значением является нуль. c) Члены последовательности возрастают и достигают максимума в одном или, возможно, в двух наиболее вероятных значениях X. После этого члены последовательности строго убывают. Наименее вероятными значениями X являются или нуль, или n, или они оба . Наиболее вероятное значение X, биномиальной случайной величины, равно наибольшему целому числу, не превосходящему произведения . Для существования двух наиболее вероятных значений X необходимо и достаточно, чтобы (n+1)p было целым числом. Тогда наиболее вероятными значениями X являются и . Если случайные величины независимы и имеют биномиальное распределение с параметрами и p, то сумма подчиняется биномиальному закону с параметрами и p. Сумма k независимых случайных величин (m|ni,p)есть также биномиальная случайная величина (m | n,p), у которой 2.2 Аппроксимация биномиального распределения Связь с бета распределением. Бета распределение — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом. Обозначение Область значений: Плотность вероятности: ,β > 0 произвольные фиксированные параметры, и - бета функция Функции биномиального и бета распределений связаны следующим соотношением (m | n,p) = B(1-p | n-m, m+1) Вычисление Pn(k) при больших значениях n затруднительно. Поэтому для их приближённого вычисления можно использовать нормальную и пуассоновскую аппроксимации. Связь с нормальным распределением Если n большое, то в силу центральной предельной теоремы (m | n,p) ≈ N(M(x),D(x)) где N – нормальное распределение. Нормальное распределение относится к числу наиболее распространенных и важных. Оно часто используется для приближенного описания многих случайных явлений, когда интересующий нас результат складывается из большого количества независимых случайных факторов, среди которых нет сильно выделяющихся. Связь с пуассоновским распределением. Если n большое, а λ — фиксированное число, то , (m | n,p) ≈ P(). где P(λ) — распределение Пуассона с параметром λ. Распределение Пуассона играет важную роль для описания "редких" событий в физике, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. – там, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий ( радиоактивных распадов, телефонных вызовов, отказов оборудования, несчастных случаев и т.п.). На практике пуассоновская аппроксимация хорошо работает, когда вероятность успеха p мала, а = np принимает значение не более 10. В противном случае лучше работает нормальная аппроксимация. Кривая плотности нормального распределения. Вероятности биномиального распределения () изображаются прямоугольными столбиками с единичными основаниями и высотами, равными соответствующим вероятностям. Аналогично изображается пуассоновская аппроксимация (). 2.3 Применение биномиального распределения Процесс производства. Биномиальное распределение - это одно из самых распространенных дискретных распределении, оно служит вероятностной моделью для многих явлений. Оно возникает в тех случаях, когда нас интересует, сколько раз происходит некоторое событие в серии из определенного числа независимых наблюдений (опытов), выполняемых в одинаковых условиях. Поясним сказанное на примере. Рассмотрим какое-либо массовое производство. Даже во время его нормальной работы иногда изготавливаются изделия, не соответствующие стандарту, т.е. дефектные. Обозначим долю дефектных изделий через р, 0<р<1. Какое именно произведенное изделие окажется негодным, сказать заранее (до его изготовления) невозможно. Для описания подобной ситуации обычно используется следующая математическая модель: а) каждое изделие с вероятностью p может оказаться дефектным (с вероятностью q=1-p оно соответствует стандарту); эта вероятность для всех изделий одинакова; б) появление как дефектных, так и стандартных изделий происходит независимо друг от друга. Это значит, что в нормальном процессе производства появление бракованного изделия не влияет на возможность появления брака в дальнейшем. Нарушение этого условия означает сбой нормального технологического режима. Последовательность независимых испытаний, в которых результатом каждого из испытаний может быть один из двух исходов (например, успех и неудача), и вероятность «успеха» (или «неудачи») в каждом из испытаний одна и та же, называется схемой испытаний Бернулли. Поэтому мы можем перефразировать вышесказанное так: в нормальных условиях технологический процесс производства математически представляется схемой испытаний Бернулли. Ставки на спорт. Одно из самых важных распределений дискретных случайных величин, которые имеют применение в азартных играх и, в частности, в ставках на спорт. Допустим, что мы имеем возможность проводить испытания, в которых некоторое событие X может происходить с постоянной (не зависящей от предыстории) вероятностью P. Число n, случаев, когда происходит событие X при m испытаниях, описывается биномиальным распределением. Вероятность того, что при n испытаниях событие X случится ровно m раз равно. Традиционно в качестве наглядного примера события X используется выпадение орла или решки при подбрасывании монеты. Биномиальное распределение в данном случае является весьма точной моделью этой физической ситуации. В ставках на спорт это распределение применяется для оценки результатов игрока. Но здесь, в отличие от опытов по подбрасыванию монеты, есть ряд весьма существенных нюансов, которые следует иметь в виду. Нюансы, о которых идет речь, заключаются в следующем. Дело в том, что в ставках на спорт невозможно найти события, истинная вероятность которых одна и та же и/или просто известна. Более того, спортивных событий имеющих одну и ту же истинную вероятность не существует в природе. Определить истинную вероятность исхода спортивного (политического) события также не представляется возможным, хотя объективно она имеет определенную величину. Биномиальное распределение наиболее часто применяют для оценки результатов игроков или систем. Биномиальное распределение может применяться при определении оптимальной финансовой стратегии. Экономика Биномиальное распределение часто используется при оценки рисков проектов, и т.д. Заключение В заключение хочется отметить то, что биномиальное распределение является достаточно распространенным и важным распределением, имеющим применение как в теории вероятностей и ее приложениях, так и в математической статистике. Распределение Бернулли применяется в практике экономических расчетов и в частности при анализе устойчивости исключительно редко. Это связано как с вычислительными сложностями, так и с тем, что распределение Бернулли – для дискретных величин, и с тем, что условия классической схемы (независимость, счетное число испытаний, неизменность условий, влияющих на возможность наступления события) не всегда выполняются в практических ситуациях. Дальнейшие исследования в области анализа схемы Бернулли, проводимые в XVIII-XIX вв. Лапласом, Муавром, Пуассоном и другими были направлены на создание возможности использования схемы Бернулли в случае большого, стремящегося к бесконечности количества испытаний. Литература Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М, «Высшая школа» 2002 Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М, «Высшая школа» 2004 Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. – М, «Айрис-пресс» 2004 г. Download 332.18 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|