Режа: 10. Бета функция ва унинг текис яқинлашувчилиги

Эйлер ва Рунге интеграллари усуллари

Режа:

1⁰. Бета функция ва унинг текис яқинлашувчилиги.
2⁰. функциянинг хоссалари.
3⁰. Гамма функция ва унинг яқинлашувчилиги.
4⁰. функциянинг хоссалари.
5⁰. Бета ва гамма функциялар орасидаги боғланиш.

Биз ушбу

хосмас интегралнинг бўлганда яқинлашувчилигини,

хосмас интегралнинг эса бўлганда яқинлашувчилигини ис­бот­лаган эдик.
Равшанки, бу хосмас интеграллар ва ларга боғлиқ, яъни параметрга боғ­лиқ хосмас интеграллар бўлади.
1⁰. Бета функция ва унинг текис яқинлашувчилиги. Ушбу

параметрга боғлиқ хосмас интеграл бета функция ( -тур Эйлер интеграли) дейи­ла­ди ва каби белгиланади:
.
Демак, бета функция

тўпламда аниқланган функция.
1-теорема. Ушбу

интеграл тўп­лам­да текис яқинлашувчи бўлади.
◄ функцияни ифодаловчи интегрални икки қисмга

ажратиб, ќар бир интегралнинг текис яқинлашишга текширамиз. Параметр , да

ва бўлганда

интегралнинг яқинлашувчи бўлишидан Вейерштрасс аломатига кўра

интегралнинг , да текис яқинлашувчилигини топа­миз. Шунингдек, параметр , да

ва бўлганда

интегралнинг яқинлашувчи бўлишидан Вейерштрасс аломати-га кўра

интегралнинг да текис яқинлашувчи бўлишини то­па­миз. Демак,

интеграл

тўпламда текис яқинлашувчи бўлади. ►
Натижа. функция

тўпламда узлуксиз бўлади.
◄Бу тасдиқ

интегралнинг текис яқинлашувчилиги ќамда интеграл остидаги функ­ция­нинг тўп­лам­да узлуксиз бўлишидан келиб чиқади. ►