Эйлер интеграллари

Эйлер интеграллари

Биз 48-маърузада ушбу

хосмас интегралнинг бўлганда яқинлашувчилигини,

хосмас интегралнинг эса бўлганда яқинлашувчилигини ис­бот­лаган эдик.
Равшанки, бу хосмас интеграллар ва ларга боғлиқ, яъни параметрга боғ­лиқ хосмас интеграллар бўлади.
1⁰. Бета функция ва унинг текис яқинлашувчилиги. Ушбу

параметрга боғлиқ хосмас интеграл бета функция ( -тур Эйлер интеграли) дейи­ла­ди ва каби белгиланади:
.
Демак, бета функция

тўпламда аниқланган функция.
1-теорема. Ушбу

интеграл тўп­лам­да текис яқинлашувчи бўлади.
◄ функцияни ифодаловчи интегрални икки қисмга

ажратиб, ҳар бир интегралнинг текис яқинлашишга текширамиз. Параметр , да

ва бўлганда

интегралнинг яқинлашувчи бўлишидан Вейерштрасс аломатига кўра

интегралнинг , да текис яқинлашувчилигини топа­миз. Шунингдек, параметр , да

ва бўлганда

интегралнинг яқинлашувчи бўлишидан Вейерштрасс аломати-га кўра

интегралнинг да текис яқинлашувчи бўлишини то­па­миз. Демак,

интеграл

тўпламда текис яқинлашувчи бўлади. ►
Натижа. функция

тўпламда узлуксиз бўлади.
◄Бу тасдиқ

интегралнинг текис яқинлашувчилиги ҳамда интеграл остидаги функ­ция­нинг тўп­лам­да узлуксиз бўлишидан келиб чиқади. ►
2⁰. функциянинг хоссалари. Энди

функциянинг хоссаларини келтирамиз.
1) функция ва аргументларига нисбатан симмет­рик функция, яъни,

бўлади.
◄ ни ифодаловчи интегралда алмаштириш ба­жа­риб топамиз:
. ►
2) функция қуйидагича ҳам ифода қилинади:
. (1)
◄ ни ифодаловчи интегралда алмаштириш ба­жариб топа­миз:
►
Агар (1) да дейилса, унда

бўлади. Хусусан,

бўлади.
3) функция учун ушбу

формула ўринли бўлади.
◄Равшанки,
.
Бу интегрални бўлаклаб интеграллаймиз:

Натижада
(2)
бўлиб, ундан

бўлиши келиб чиқади. ►
функция симметрик бўлганлигидан ушбу
(3)
бўлади.