Эйлер интеграллари

Натижа. функцияга (2) ва (3) форму­ла­­ларни такрор қўл­лаш натижасида

бўлиши келиб чиқади.
3⁰. Гамма функция ва унинг яқинлашувчилиги. Ушбу

параметрга боғлиқ хосмас интеграл гамма функция ( -тур Эйлер интеграли) дейи­ла­ди ва каби белгиланади:
.
Демак, гамма функция да аниқланган функция.
2-теорема. Ушбу

интеграл да текис яқинлашувчи бўлади.
◄ функцияни ифодаловчи интегрални икки интеграл йиғиндиси сифа­ти­да ёзиб оламиз:
.
Сўнг иккала интегралнинг ихтиёрий сегментда текис яқинлашувчи бўлишини кўрсатамиз. Параметр , да

ва да

интегралнинг яқинлашувчи бўлишидан Вейерштрасс аломати-га кўра

интегралнинг да текис яқинлашувчи бўлиши келиб чиқади. Шунингдек, параметр , да

ва

интегралнинг яқинлашувчи бўлишидан яна Вейерштрасс ало­ма­тига кўра

интегралнинг да текис яқинлашувчи бўлишини топамиз. Демак,

хосмас интеграл да текис яқинлашувчи бўлади. ►
Натижа. функция да узлуксиз бўлади.
◄Бу тасдиқ

интегралнинг текис яқинлашувчилиги ҳамда интеграл остида-ги функ­­­циянинг да узлуксиз бўли­­­­ши­дан келиб чиқади. ►
4⁰. функциянинг хоссалари. 1) Гамма функция да барча тартиб­даги узлуксиз ҳосилаларга эга ва

бўлади.
◄Равшанки,

интеграл остидаги функция

тўпламда узлуксиз бўлиб, узлуксиз

ҳосилага эга бўлади. Юқорида айтганимиздек

тенгликнинг ўнг томонидаги интеграллар ихтиёрий да текис яқинлашувчи.
Ушбу , интегралларни қарай-лик. Бу интеграллардан биринчиси, да

ва

интеграл яқинлашувчи бўлганлигидан Вейерштрасс аломатига кўра текис яқин­ла­шув­чи бўлади. Шунингдек иккинчи интеграл ҳам, да

ва

интеграл яқинлашувчи бўлганлигидан яна Вейерштрасс аломатига кўра текис яқинлашувчи бўлади. Параметрга боғлиқ хосмас интегралнинг параметр бўйича диф­ферен­циаллаш ҳақидаги теоремадан фойдаланиб топамиз:

Демак,
.
функциянинг да узлуксиз бўлиши равшан.
Худди шу йўл билан функциянинг иккинчи, учинчи ва ҳоказо тартиб­да­ги ҳосилаларининг мавжудлиги, узлуксиз-лиги ҳамда

бўлиши кўрсатилади. ►

2) функция учун ушбу

(4)
формула ўринли бўлади.
◄Равшанки,
.
Бу интегрални бўлаклаб интеграллаймиз. Натижада

бўлади. ►
Маълумки, бўлса, бўлади. функ­ция­нинг бу хосса­си­ни ифодаловчи (4) муносабат функ­ция­нинг даги қийматларига кўра унинг оралиқдаги қийматла­рини, умуман ихтиёрий даги қийматла­рини топиш имко­ни­ни беради.
Натижа. функцияга (4) формулани такрор қўл­лаш натижасида

бўлиши келиб чиқади.
3) функциянинг ўзгариш характери. Равшанки,
.
Юқоридаги (4) формулага кўра

бўлади. Ролль теоремасига мувофиқ, шундай нуқта топиладики,

бўлади. Айни пайтда, да

бўлганлиги учун функция да қатъий ўсувчи бўлади. Бинобарин, функция нуқтадан бошқа нуқталарда нолга айланмайди. Демак,

тенглама оралиқда ягона ечимга эга. Унда,
да ,
да
бўлиб, функция нуқтада минимумга эга бўлади. ( бўлиши топилган).
функция да ўсувчи бўлганлиги сабабли бўлганда бўлиб, ундан

бўлиши келиб чиқади.
Агар да ҳамда

бўлишини эътиборга олсак, унда

эканлигини топамиз.