Эйлер интеграллари

5⁰. Бета ва гамма функциялар орасидаги боғланиш. Бета ва гамма функ­ция­лар орасидаги боғланишни қуйидаги теорема ифода­лайди.
3-теорема. учун
(5)
формула ўринли бўлади.
◄Ушбу

интегралда , алмаштириш бажариб, ни га алмаштирамиз. Натижада

бўлиб,

бўлади.
Энди бу тенгликнинг ҳар икки томонини га кўпайтириб, сўнг оралиқ бўйича интеграллаб топамиз:

яъни,
.

[1], 17-боб, 8-§да келтирилган теоремадан фойдаланиб, кейинги тенгликнинг ўнг томонидаги интегралларнинг ўринларини алмаш­ти­рамиз. Натижада

бўлади. Интегралда алмаштириш бажариб топамиз:

Демак,
. ►
Натижа. учун
(6)
бўлади.
◄ (5) тенгликда деб олинса, унда

бўлади. Маълумки,
, .
Демак,
, . ►
Агар (6) формулада дейилса,

бўлиши келиб чиқади.
1-мисол. 1. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄Бу интегралда алмаштириш бажарамиз. Унда

бўлиб,

бўлади. ►
2-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄Бу интегралда

алмаштириш бажарамиз. Унда
,



бўлади. ►