Режа: 10. Бета функция ва унинг текис яқинлашувчилиги

4⁰. функциянинг хоссалари. 1) Гамма функция да барча тартиб­даги узлуксиз ќосилаларга эга ва

бўлади.
◄Равшанки,

интеграл остидаги функция

тўпламда узлуксиз бўлиб, узлуксиз

ќосилага эга бўлади. Юқорида айтганимиздек

тенгликнинг ўнг томонидаги интеграллар ихтиёрий да текис яқинлашувчи.
Ушбу , интегралларни қарай-лик. Бу интеграллардан биринчиси, да

ва

интеграл яқинлашувчи бўлганлигидан Вейерштрасс аломатига кўра текис яқин­ла­шув­чи бўлади. Шунингдек иккинчи интеграл ќам, да

ва

интеграл яқинлашувчи бўлганлигидан яна Вейерштрасс аломатига кўра текис яқинлашувчи бўлади. Параметрга боғлиқ хосмас интегралнинг параметр бўйича диф­ферен­циаллаш ќақидаги теоремадан фойдаланиб топамиз:

Демак,
.
функциянинг да узлуксиз бўлиши равшан.
Худди шу йўл билан функциянинг иккинчи, учинчи ва ќоказо тартиб­да­ги ќосилаларининг мавжудлиги, узлуксиз-лиги ќамда

бўлиши кўрсатилади. ►

2) функция учун ушбу

(4)
формула ўринли бўлади.
◄Равшанки,
.
Бу интегрални бўлаклаб интеграллаймиз. Натижада

бўлади. ►
Маълумки, бўлса, бўлади. функ­ция­нинг бу хосса­си­ни ифодаловчи (4) муносабат функ­ция­нинг даги қийматларига кўра унинг оралиқдаги қийматла­рини, умуман ихтиёрий даги қийматла­рини топиш имко­ни­ни беради.
Натижа. функцияга (4) формулани такрор қўл­лаш натижасида

бўлиши келиб чиқади.
3) функциянинг ўзгариш характери. Равшанки,
.
Юқоридаги (4) формулага кўра

бўлади. Ролль теоремасига мувофиқ, шундай нуқта топиладики,

бўлади. Айни пайтда, да

бўлганлиги учун функция да қатъий ўсувчи бўлади. Бинобарин, функция нуқтадан бошқа нуқталарда нолга айланмайди. Демак,

тенглама оралиқда ягона ечимга эга. Унда,
да ,
да
бўлиб, функция нуқтада минимумга эга бўлади. ( бўлиши топилган).
функция да ўсувчи бўлганлиги сабабли бўлганда бўлиб, ундан

бўлиши келиб чиқади.
Агар да ќамда

бўлишини эътиборга олсак, унда

эканлигини топамиз.