Bir faktorli dispersion analiz. Hamma darajalarda sinovlar soni bir xil”

2. 2 Chetlanishlar kvadratlarining umumiy faktor va qoldiq yig`indilari
Aytaylik normal taqsimlangan X son belgiga p ta o`zgarmas darajali F faktor ta`sir ko`rsatsin. Har bir darajada kuzatish soni bir xil va q ga teng deb faraz qilamiz.
X belgining pq ta x_ij qiymatlari kuzatilgan bo`lsin, bu yerda i-sinash nomeri (i=1,2,….q) j-faktor darajasi nomeri (j=1,2….p). Kuzatish natijalari 1-jadvaldan o`rin olgan.

1-jadval

Sinash natijalari	Faktor darajalari
			…
1 2 … q			… … … …
Guruppaviy o’rtacha qiymatlar			…

Taʼrifga koʻra quyidagilarni kiritamiz.

(kuzatilayotgan qiymatlarning umumiy oʻrtacha qiymatdan chetlanishlari kvadratlarning umumiy yigʻindisi).

(gruppaviy oʻrta qiymatlarning umumiy oʻrtacha qiymatidan chetlanishlari kvadratlarning faktor yigindisi, u “gruppalar orasida” tarqoqlikni xarakterlaydi).

(gruppadagi kuzatilayotgan qiymatlarning oʻzining gruppaviy oʻrtacha qiymatdan chetlanishlari kvadratlarning qoldik yigʻindisi. U “gruppalar ichidagi” tarqoqlikni xarakterlaydi).
Amalda qoldik yigʻindi ushbu tenglik boʻyicha topiladi:

Elementar almashtirishlar yordamida hisoblash uchun qulay formulalar hosil qilish mumkin.
(*)
(**)
Bu yerda: － belgining darajadagi qiymatlari yig’indisi, －belgining darajadagi qiymatlari yig’indisi.
Eslatma. Hisoblashlarni soddalashtirish maqsadida kuzatilayotgan har bir qiymatdan taxminan umumiy oʻrtacha qiymatga teng boʻlgan bir xil C son ayiriladi. Agar kamaytirilgan qiymatlar boʻlsa, u holda y_ij=x_ij-C bo’lsa u holda,

(***)
(****)

bu yerda belgining darajadagi kamaytirilgan qiymatlari kvadratlari yigʻindisi, belgining kamaytirilgan qiymatlari yig’indisi.

(***) va (****) formulalarni keltirib chiqarish uchun x_ij=y_ij+C ni (*) ga va

ni (**) munosabatga qo’yish lozim.

Tushuntirishlar.
1. F faktorning taʼsirini xarakterlashiga ishonch xosil qilaylik. Aytaylik, faktor X ga muhim taʼsir koʻrsatsin. U holda belgining bitta tayin darajada kuzatilgan qiymatlari gruppasi, umuman aytganda, boshka darajalardagi kuzatish gruppalaridan farq qiladi. Demak, gruppaviy oʻrtacha qiymatlar xam farq qiladi, shu bilan birga faktor taʼsiri qancha katta boʻlsa, ular umumiy oʻrtacha qiymat atrofida shuncha koʻp tarqoq boʻladi. Bu yerdan faktor taʼsirini baholash uchun gruppaviy oʻrtacha qiymatlarning umumiy oʻrtacha qiymatdan chetlanishlari kvadratlari yigindisini tuzish maqsadga muvofiqligi (musbat va manfiy chetlanishlarning oʻzaro yoʻqolib ketishini bartaraf qilish maqsadida chetlanish kvadratga koʻtariladi) kelib chiqadi. Bu yigʻindini q ga koʻpaytirib ni hosil qilamiz. Shunday qilib, faktorning taʼsirini xarakterlaydi.
2. tasodifiy sabablar taʼsirini aks ettirishiga ishonch hosil qilamiz. Bir gruppadagi kuzatishlar farq qilmasligi kerakdek boʻlib koʻrinadi. Lekin X ga F faktordan tashqari tasodifiy sabablar xam taʼsir koʻrsatgani uchun - bitta gruppadagi kuzatishlar, umuman aytganda, turli va demak, oʻzining gruppaviy oʻrtacha qiymati tarqoq boʻladi. Bu yerdan tasodifiy sabablarni baholash uchun har bir gruppaning kuzatilayotgan qiymatlarini ularning oʻz gruppaviy oʻrgacha qiymatidan chetlanishlari kvadratlari yigʻindisini yaʼni ni tuzish maqsadga muvofiqligi kelib chiqadi. Shunday qilib, tasodifiy sabablar taʼsirini xarakterlaydi.
3. xam faktor, ham tasodifiy sabablar taʼsirini aks ettirishiga ishonch hosil qilamiz. Barcha kuzatishlarni yagona toʻplam sifatida qaraymiz. Belgining kuzatilayotgan qiymatlari faktor va tasodifiy sabablari natijasida har xil. Bu taʼsirni baholash uchun kuzatilayotgan qiymatlarning umumiy oʻrtacha qiymatdan chetlanishlari kvadratlari yigʻindisini, yaʼni ni tuzatish maksadga muvofiqdir.
Shunday qilib, faktor va tasodifiy sabablar taʼsirini xarakterlaydi. faktor yigʻindi faktor taʼsirini, qoldik yigʻindi esa tasodifiy sabablar taʼsirini aks ettirishini yaqqol koʻrsatadigan misol keltiramiz.
Misol. Ikkita asbob bilan haqiqiy oʻlchami X ga teng boʻlgan fizikaviy kattalik 2-martadan oʻlchangan. Faktor sifatida C sistematik xatoni, uning darajalari sifatida esa mos ravishda birinchi va ikkinchi asboblarning va sistematik xatolarini qarab, sistematik xatolar orqali, esa oʻlchashning tasodifiy xatolari orqali aniqlanishini koʻrsating.
Yechilishi. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: va _－ birinchi asbob bilan birinchi va ikkinchi oʻlchashdagi tasodifiy xatolar.
va _－ ikkinchi asbob bilan birinchi va ikkinchi oʻlchashdagi tasodifiy xatolar. Unda oʻlchash natijalarining kuzatilgan qiymatlari mos ravishda quyidagiga teng:

(x ning birinchi indeksi oʻlchash nomerini, ikkinchi indeksi esa asbob nomerini koʻrsatadi).
Birinchi va ikkinchi asboblarda oʻlchashlarning oʻrtacha qiymatlari mos ravishda quyidagiga teng:

Umumiy oʻrtacha qiymat:

Faktor yig’indi:

Qavs ichidagi kattaliklarning qiymatlarini qoʻyib, elementlar almashtirishlardan soʻng quyidagini hosil qilamiz:

Koʻrinib turibdiki, asosan birinchi qoʻshiluvchi bilan aniqlanadi (chunki oʻlchashlarning nisbiy xatolari kichik) va demak, u haqiqatan ham C faktor taʼsirini aks ettiradi.
Qoldiq yigʻindi:

Qavslar ichidagi kattaliklarni oʻrniga qoʻyib, quyidagini hosil qilamiz:

Koʻrinib turibdiki, oʻlchashlarning tasodifiy xatolari bilan aniqlanadi, va demak, u tasodifiy sabablar taʼsirini haqiqatan ham aks ettiradi.
Eslatma. tasodifiy sabablar tomonidan vujudga keltirilishi, shuningdek, ushbu tenglikdan ham kelib chiqadi.

Darhaqiqat, faktor va tasodifiy sabablar taʼsiri natijasidir ni ayirish bilan, biz faktor taʼsirini yoʻqotamiz. Demak, qolgan qism tasodifiy sabablar taʼsirini aks ettiradi.