Бир жинсли тор тебраниши тенгламаси учун коши масаласининг ечими

Бир жинсли тортебраниши тенгламаси учун коши масаласининг ечими. Чексиз тор учун Даламбер формуласи
Режа:

1. 
   Бир жинсли тор тебраниши тенгламаси учун Коши масаласи.
   
2. 
   Коши масаласининг ечимини Даламбер усулида топиш.
   
3. 
   Хулоса.
   

Икки учи маҳкамланган ёки бир учи маҳкамланган тор тебраниш ҳақидаги масалани ечишдан олдин осонроқ бўлган масалани яъни чексиз тор тебраниши ҳақидаги масалани кўрайлик.

Қуйидаги
(1)
биржинсли тор тебраниш тенгламасининг
(2)
бошланғич шартларни қаноатлантирувчи ечимини топиш керак. Бундаги f(x), F(x) лар (-,) оралиқда берилган функциялардир. Номаълум u(x,t) функцияга ҳеч қандай чегаравий шарт қўйилмаган. (1) тенгламанинг (2) бошланғич шартларни қаноатлантирувчи ечимини топиш масаласи Коши масаласи дейилади. Бу масалани ечиш усули Даламбер усули дейилади. (1) нинг умумий ечими
(3)
бўлишлигини кўрсатамиз. Бунда , функциялар икки марта дифференциалланувчи функциялардир.
Ҳақиқатан ҳам

тенглик ўринли бўлади.
Демак, (3) (1)нинг умумий ечими бўлади.
Энди (2) бошланғич шартлардан фойдаланиб, номаълум , функцияларни топамиз. (2), (3) дан:
t=0 бўлганда (x)+(x)=f(x) (4)
ҳосил бўлади.

(5)
(5) ни 0 дан х гача интегралласак,

(6)

(4) ва (6) дан:
(7)
(7) даги х ўрнига x-at ва x+at қўйсак,

(3) га асосан

Маълумки,
у ҳолда (8)
(8) формула тор тебраниши тенгламаси учун Коши масаласининг Даламбер ечими дейилади.

Мисоллар: 1) тенгламанинг

бошланғич шартларни қаноатлантирувчи ечимини топинг.

2)


3) тенгламанинг
бошланғич шартларни қаноатлантирувчи ечимини топинг.

Энди (3) ечимнинг физик маъносини аниқлашга тўхталамиз.

умумий ифодадаги функцияларни алоҳида қараймиз.
Аввал функцияни олиб, уни t нинг ўсувчи t=t₀, t=t₁, t=t₂,... қийматлариучун графикларни чизамиз.

иккинчи график биринчи графикка нисбатан at₁ миқдорга ўнг томонга қараб силжиган, учинчиси эса at₂ миқдорга ўнг томонга қараб силжиган ва ҳ.к. Агар бу чизмаларни кетма-кет қўзғалмас экранга проекцияласак, биринчи график ўнг томонга қараб югураётганини кўрамиз. Энди (3) даги иккинчи қўшилувчи (x+at) ни қарайлик. Худди юқоридагидай мулоҳаза юргизсак, бу функция ҳам тезлик билан чап томонга қараб тарқалади. (x-at), (x+at) функциялар билан тавсифланувчи тўлқинлар югурувчи тўлқинлар дейилади. Шундай қилиб (1) тенгламанинг умумий ечими (x-at) ва (x+at) тўлқинларнинг йиғиндисидан (суперпозициясидан) иборат экан.

(8) ечимини текширайлик.
F(x)=0 бўлсин. Бу ҳолда тор нуқталарнинг бошланғич тезлиги нолга тенг бўлиб, тор фақатгина бошланғич силжитиш натижасида тебранма ҳаракат қилади. Бу ҳолда
га эга бўламиз.
f(x) функция аниқ бўлгани учун u(x,t) нинг қийматини ҳар қандай x ва t лар учун ҳисоблаш мумкин.
Худди юқорида кўрганимиз каби бу ерда ҳам u(x,t) функция иккита ва тўлқинларнинг суперпозициясидан иборат. Биринчи тўлқин а тезлик билан ўнг томонга қараб тарқалади ва у тўғри тўлқин дейилади. t=0 да эса иккала тўлқинларнинг профили устма-уст тушади. Агар f(x)=0 бўлиб, F(x)0 бўлса
бўлади.
деб фараз қилсак, у ҳолда
бўлади. Бу ҳолда ҳам тор бўйлаб тўғри ва тескари тўлқинлар тарқалади.
Тор ҳаракатини тасаввур қилиш учун

деб оламиз.
Бу ҳолда

Бундан кўринадики, тоқ функциядир.

Адабиёт:

1. 
   Н.С.Пискунов Дифференциал ва интеграл ҳисоб. II том. Ўқитувчи, 1974 й. [400-401 бетлар].
   
2. 
   Т.Н.Нуримов. Математик физика методлари. Ўқитувчи, 1988 й. [86-98 бетлар].
   
3. 
   И.Г.Араманович и В.И.Левин. Уравнения математической физики. Наука, Москва 1969 г. [33-46 бетлар].
   
4. 
   www.ziyonet.uz
   
5. 
   Математик физика методларидан маърузалар матни Йўлдошев Э.О., Карашева