Bir o’zgaruvchi ko’phadlarni bo’lish. Ko’phadlarni qoldiqli bo’lish. Reja

Misol: P(x)=(x-2)²+x³-2x²+1 ko‘phadni kanonik shaklga keltiring.
Yechish: P(x)=x²-4x+4+x³-2x²+1=x³-x²-4x+5 ko‘phad kanonik ko‘rinishga keltirildi.

Ikkita ko‘phad P(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+ aⁿ va Q(x)=b₀xⁿ+b₁x^n-1+…+ b_n o‘zaro teng deyiladi, agar bir xil darajali noma’lumlar oldidagi koeffitsiyentlar teng, ya’ni a₀=b₀, a₁=b₁…a_n=b_n bo‘lsa, bu holda P(x)=Q(x) deb yoziladi.

Ko‘phadlarni qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish mumkin. Natijada yana ko‘phad hosil bo‘ladi:
(x³-2x²+3)+(x⁴-2x²+1)=x⁴+x³-4x²+4

(3x³-2x²+1)-(x³-2x²+4)=2x³-3

(x²-x)(x³+1)=x⁵-x⁴+x²-x

Berilgan P(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+…+a_n-1x+a_n ko‘phadni

Q(x)=b₀x^m+b₁x^m-1+…+b_m ko‘phadga bo‘lish talab qilinsin. Agar shunday S(x) va R(x) ko‘phadlar mavjud bo‘lib,
P(x)=Q(x) S(x)+R(x) (1)
tenglik o‘rinli bo‘lsa, P(x)-bo‘linuvchi, Q(x)-bo‘luvchi S(x)- bo‘linma va R(x) – qoldiq ko‘phadlar deyiladi. Bu yerda R(x) ning daraja ko‘rsat-kichi, Q(x) daraja ko‘rsatkichidan kichik bo‘ladi. R(x)=0 bo‘lsa, P(x) ko‘phad Q(x) ga qoldiqsiz bo‘linadi deyiladi, aks holda bo‘lish qoldiqli deyiladi (yoki bo‘linmaydi deyiladi).

Bo‘linma S(x) va qoldiq R(x) ni topishda “aniqmas koeffitsiyentlar usuli” yoki “burchakli bo‘lish” usulidan foydalanish mumkin.

Bo‘luvchi Q(x) va bo‘linma S(x) daraja ko‘rsatkichlarining yig‘indisi P(x) daraja ko‘rsatkichiga tengligini hisobga olgan holda, (1) tenglikni S(x) va R(x) koeffitsiyentlari noma’lum bo‘lgan shaklda yoza-miz. Ikki ko‘phad tengligidan (qavslarni ochib, ma’lum amallarni bajar-gandan keyin) foydalanib, noma’lum koeffitsiyentlarni topish uchun chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bunday sistema yagona yechimga ega bo‘ladi. Buni misolda ko‘ramiz.