Бир ўзгарувчи функциясининг интеграл ҳисоби

Ўзгарувчини алмаштириш ва бўлаклаб интеграллаш ёрдамида аниқ интегрални ҳисоблаш.
Бирор оралиқда аникланган функция учун бу оралиқнинг ҳамма қийматларида
ёки
шарт бажарилса, у ҳолда функция нинг бошланғич функцияси дейилади.
Агар функция бошланғич функцияга эга бўлса, у ҳолда нинг ҳамма бошланғич функциялари тўплами бўлади, бунда - ихтиёрий ўзгармас. Шунга кўра берилган функциянинг ҳар қандай иккита бошланғич функция­си бир-биридан ихтиёрий ўзгармасга фарқ қилади.
(ёки ифода) дан олинган аниқмас интеграл деб, бу функциянинг барча бошланғич функциялари тўпламига айтилади ва бундай белгиланади: .
Аниқмас интегрални топиш жараёни интеграллаш дейилади.
Аниқмас интегралнинг асосий хоссалари (интеграллаш қоидалари):
а) ;
б) ;
в) ;
г) ( - ўзгармас);
д) ;
е) агар ва ҳар қандай дифференциалланувчи функция бўлса, у ҳолда:
.
Аниқмас интеграллар жадвали:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
Интеграллаш натижасининг тўғрилиги топилган бошланғич функцияни дифференциаллаш билан текширилади. Келтирилган жадвалда эркли ўзгарувчини, шунингдек, дифференциалланувчи функцияни ифодалайди.
Интеграллашнинг қуйидаги содда усулларини келтирамиз:
а) интеграл остидаги функцияни содда функциялар йиғиндисига ёйиш ва интегралларнинг хоссаларидан фойдаланиш усули;
б) дифференциал белгиси остига киритиш усули. Масалан:
, агар - ўзгармас бўлса;
,

ва ҳ. к.
Бўлаклаб интеграллаш.
Аниқмас интегралда ўзгарувчини алмаштириш қуйидагича амалга оширилади:
а) бунда - янги ўзгарувчи нинг дифференциалланувчи функцияси бўлсин. Бу ҳолда ўзгарувчини алмаштириш формуласи ушбу кўринишга эга:
;
б) , бунда - янги ўзгарувчи. Бу ҳолда ўзгарувчини алмаштириш формуласи ушбу кўринишга эга:
.
Иккала ҳолда ҳам интеграллашдан кейин ўзгарувчи га қайтиш керак.
Бўлаклаб интеграллаш усули

формулага асосланади, бунда ва нинг интегралланувчи функциялари.
Бу усул ҳар хил синфдаги функциялар кўпайтмаларини интеграллашда фойдаланилади:

.
Дастлабки, учта интегралда учун кўпҳад қабул қилинади, охирги тўртта интегралда эса учун қабул қилинади.
Баъзи ҳолларда бўлаклаб интеграллаш формуласини бир неча марта қўллаш зарур бўлади.