Birinchi tartibli differensial tenglamaning maxsus yechimi

y =( c₁+ c₂x)e^{k x}

ko’rinishida bo’ladi.

3. Xarakteristik tenglamaning ildizlari k₁ va k₂ kompleks sonlar bo’lsin:

, ,
.
Xususiy yechimlarni
y₁ =e ^x va y₂ =e ^x
shaklida yozish mumkin.
Quyidagi natijadan foydalanamiz: agar xaqiqiy koeffitsentli bir jinsli chiziqli tenglamaning hususiy yechimi kompleks funksiyalardan iborat bo’lsa, u xolda uning haqiqiy va mavxum qismlari xam shu tenglamaning yechimi bo’ladi.
Demak, xususiy yechim
e ^x= e ^xcos( x)+ie ^xsin( x)
bo’lgani uchun e ^xcos( x) , e ^xsin( x) lar (4.3) tenglamaning yechimlari buladi.
Umumiy yechim esa
y= e ^x (c₁ cos( x)+c₂ sin( x))
ko’rinishda bo’ladi.
Misol.
y^’’ -4y^’+7y = 0 tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Yechish.
Bu tenglamaning xarakteristik tenglamasini yozamiz:
k²- 4k+7=0.
Uni yechib, k₁=2+i va k₂=2-i topib , umumiy yechimni xosil kilamiz:

y= e^2x (c₁ cos( x)+c₂ sin( x)).

Bir jinsli bo’lmagan ikkinchi tartibli chiziqli,
o’zgarmas koeffitsientli differensial tenglama

Bir jinslimas ikkinchi tartibli chiziqli, o’zgarmas koeffitsientli differensial tenglama

y^”+ a₁ y^’+a₂ y=f(x) (4.8)

berilgan bo’lsin.

Agar da (4.8) a_{1 ,}a₂ tenglamaning koeffitsientlari va o’ng tomoni - f(x) uzluksiz bo’lsa, u xolda shu oraliqdagi har qanday uchun

shartni qanoatlantiruvchi yagona yechim mavjuddir.