Биринчи тур эгри чизиқли интеграллар

Биринчи тур эгри чизиқли интеграллар

Маълумки, интеграл математик анализнинг муҳим тушун­ча­ларидан ҳисоб­ланади. Унинг умумлаштиришларидан бири маъру­за­ларда баён этил­ган икки ўзгарувчили функциянинг текисликдаги тўплам бўйича икки карра­ли интегралидир. Айни пайтда, икки ўзгарувчили функция интегралини бошқача умумлаштириш (бу конкрет амалий масалаларни ҳал қилишда зарур эканлигидан келиб чиққан) ҳам мумкин. Қуйида келтирила­диган эгри чизиқли интеграл шулар жумласидандир.

1⁰. Биринчи тур эгри чизиқли интеграл тушунчаси. Текис­лик­да содда узунликка эга бўлган эгри чизиқни қарайлик. (47-чизма)

47-чизма
Бу эгри чизиқда А дан В га қараб йўналишни мусбат йўналиш деб, унинг

нуқталар ёрдамида ҳосил қилинган

бўлаклашини оламиз. Натижада эгри чизиқ

бўлакчаларга ажралади. Унинг узунлигини дейилса бўлаклашнинг диаметри бўлади.
Айтайлик, бу эгри чизиқда функция аниқланган бўлсин. Ҳар бир да ихтиёрий нуқтани олиб, сўнг бу нуқтадаги функциянинг қиймати ни га кўпайтириб ушбу

йиғиндини ҳосил қиламиз.
Таъриф. Агар олинганда ҳам шундай сон топил­саки, эгри чизиқнинг диаметри бўлган ҳар қандай бўлак­лаш учун тузилган йиғинди ихтиёрий нуқ­та­­ларда

тенгсизликни бажарса, функция эгри чизиқ бўйича интегралланувчи дейилиб, сон эса функциянинг эгри чизиқ бўйича биринчи тур эгри чизиқли интеграли дейилади. У

каби белгиланади. Демак
.
Келтирилган таърифдан кўринадики, функция-нинг бирин­чи тур эгри чизиқли интеграли эгри чизиқ-нинг йўна­ли­ши­га боғлиқ бўлмайди.
.
2⁰. Биринчи тур эгри чизиқли интегралнинг мавжудлиги ва уни ҳисоблаш. Биринчи тур эгри чизиқли интеграл таърифидан кўринадики, у берилган функция ва эгри чизиққа боғ­лиқ бўлади.
Фараз қилайлик, содда силлиқ эгри чизиқ ушбу

тенгламалар ситемаси билан аниқланган ва

бўлсин. Шу эгри чизиқда функция берилган.