Биринчи тур эгри чизиқли интеграллар

Теорема. Агар функция да узлуксиз бўлса, у ҳолда биринчи тур эгри чизиқли интеграл

мавжуд бўлиб,

бўлади.
◄ сегментнинг

бўлаклаши эгри чизиқда

нуқталарни ҳосил қилиб, у ўз навбатида эгри чизиқнинг

бўлаклашини юзага келтиради. Бу бўлаклашга нисбатан қуйидаги
(1)
йиғиндини тузамиз. Бунда , эса эгри чизиқ узунлиги. Маълумки,

бўлади.Ўрта қиймат ҳақидаги теоремадан фойдаланиб топамиз:

Энди

деб қараймиз. Равшанки Модомики функция
эгри чизиқда берилган экан, унда бўлади. Натижада (1) йиғинди ушбу
(2)
кўринишга келади.
, функциялар да узлуксиз бўлганлиги сабали
да
бўлади. Яна

функция да узлуксиз бўлганлиги учун у да интеграл­ла­нувчи бўлади.
(2) тенгликда лимитга ўтиб топамиз.

Демак,
. (3)
Бу теорема биринчи тур эгри чизиқли интегралнинг мавжудлигини ифодалаш билан бирга уни ҳисоблаш имконини ҳам беради.
1-натижа. Айтайлик, эгри чизиқ тенг­ла­ма билан аниқланган бўлиб, функция да узлуксиз ҳамда узлуксиз ҳосилага эга бўлсин ( ).
Агар функция эса шу эгри чизиқда узлуксиз бўлса, биринчи тур эгри чизиқли интеграл мавжуд бўлиб
(4)
бўлади.
2-Натижа. Айтайлик, эгри чизиқ қутб координаталри сис­те­ма­сида

тенглама билан аниқланган бўлсин, бунда функция сегментда узлуксиз ва узлуксиз ҳосилага эга. Бу эгри чизиқда функция аниқланган ва узлуксиз. У ҳолда

биринчи тур эгри чизиқли интеграл мавжуд бўлиб
(5)
бўлади.
1-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин, бунда эгри чизиқ параболанинг , нуқталари орасидаги қисми.
◄ (4) формуладан фойдаланиб топамиз:
.
. ►
2-мисол. Ушбу

интерал ҳисоблансин, бунда С-маркази нуқтада радиуси га тенг бўлган айланадан иборат.
◄Маълумки, бу айлананинг тенгламаси қутб координаталар системасида

бўлади. (5) формуладан фойдаланиб топамиз:
. ►