Bli differensi

Misol 2. 𝑦^′ = 2𝑥(𝑥² + 𝑦)

1. 2.
3.

4.
𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣

{
𝑢^′𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣^′ − 2𝑥 ∙ 𝑢 ∙ 𝑣 = 2𝑥³ ⟹ 𝑣^′ − 2𝑥𝑣 = 0
^𝑢′𝑣 = 2𝑥³
𝑣^′ − 2𝑥𝑣 = 0 ⟹ ^𝑑𝑣 = 2𝑥𝑑𝑥 ⟹

^𝑢′𝑣 + 𝑢 ∙ (𝑣^′ − 2𝑥 ∙ 𝑣) = 2𝑥³

𝑙𝑛|𝑣| = 𝑥² ⟹ 𝑣 = 𝑒^𝑥2 ,

bu bosqichda 𝑐 − qatnashmaydi.

5. 𝑢^′𝑣 = 2𝑥³ ⟹ 𝑢^′ ∙ 𝑒^𝑥2 = 2𝑥³ ⟹ 𝑢^′ = 2𝑥³ ∙ 𝑒^−𝑥2 ⟹

𝑢 = ∫2𝑥³ ∙ 𝑒^−𝑥2𝑑𝑥 = −𝑥² ∙ 𝑒^−𝑥2 − 𝑒^−𝑥2 + 𝑐

6. 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣 ⟹ 𝑦 = (−𝑥² ∙ 𝑒^−𝑥2 − 𝑒^−𝑥2 + 𝑐) ∙ 𝑒^𝑥2 = −𝑥² − 1 + 𝑐 ∙ 𝑒^𝑥2-umumiy yechim boʻladi.

BERNULLI DIFFERENSIAL TENGLAMASI.

Bernulli differensial tenglamasi deb,

^𝑦′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑦 = 𝑞(𝑥) ∙ 𝑦^𝑎

koʻrinishdagi differensial tenglamaga aytiladi.

Koʻrinibturibtiki Bernullidifferensialtenglamasi tuzilishiboʻyicha chiziqlibir jinsli boʻlmagan birinchi tartiblidifferensial tenglamani eslatayapti. Differensial tenglama Bernulli differensial tenglamasi ekanligini aniqlash uchun oʻng tomonda y ning a-darajasi qatnashganligidir.

𝑎 = 0 boʻlganda 𝑦^′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑦 = 𝑞(𝑥)

𝑎 = 1 boʻlganda 𝑦^′ + (𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥)) ∙ 𝑦 = 0

koʻrinishdagi differensial tenglamalarga keladi, ularni qanday qilib yechishni esa koʻrib chiqdik.

y ning darajasidagi a –musbat ham (a>0), manfiy ham (a<0), kasr son ham

1
1
(𝑎 = ₂ ⟹ 𝑦² = _√𝑦 ) boʻlishi mumkin.

^Bernulli tenglamasi turli xil koʻrinishlarda berilishi mumkin: 𝑟(𝑥) ∙ 𝑦^′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑦 = 𝑞(𝑥) ∙ 𝑦^𝑎
𝑟(𝑥) ∙ 𝑦^′ + 𝑦 = 𝑞(𝑥) ∙ 𝑦^𝑎 𝑦^′ + 𝑦 = 𝑞(𝑥) ∙ 𝑦^𝑎 𝑦^′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑦 = 𝑦^𝑎
Muhimi y ning birdan farqli darajasi qatnashsa boʻlgani. a>0 boʻlganda y=0 yechim Bernulli tenglamasining xususiy yechimi boʻladi.

Shunday qilib Bernulli tenglamasini yechish algoritmi quyidagicha:

1. Oʻng tomondagi 𝑦^𝑎 dan qutulish lozim. Buning uchun tenglamani ikkala tomonini 𝑦^𝑎 ga boʻlamiz.

𝑦
′
𝑦^{𝑎 + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑦}1−𝑎 ^{= 𝑞(𝑥)}
2. 𝑦^1−𝑎 dan qutulish lozim, buning uchun 𝑦^1−𝑎 = 𝑧 deb belgilash kiritamiz. 3. 𝑧^′ = (1 − 𝑎)_𝑦′ ⟹ 𝑦^′ = _1−𝑎 𝑧^′ ⟹ _1−𝑎 𝑧^′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑧 = 𝑞(𝑥)
koʻrinishdagi chiziqli bir jinsli boʻlmagan 1-tartibli differensial tenglamaga kelamiz. Uni yechish algoritmini esa bilamiz.

Misol 3. √1 − 𝑥² ∙ 𝑦^′ + 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑦², 𝑦(0) = −1

1. Oʻng tomonda y dan qutulish kerak.


1
2. Konturga olingan qoʻshiluvchida y dan qutulish kerak, buning uchun _𝑦 = 𝑧 almashtirish bajaramiz.
3. 𝑧^′ = −_𝑦2 ⟹ 𝑦^′ = −𝑦² ∙ 𝑧^′ ⟹ −√1 − 𝑥² ∙ 𝑧^′ + 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 ⟹ 𝑧^′ − _{√1 −}¹ _𝑥2 𝑧 = −_√^𝑎𝑟₁^𝑐₋^𝑠𝑖𝑛_𝑥^𝑥₂

Natijada Bernulli differensial tenglamasidan chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamaga kelamiz. Bunday tenglamalarni yechish usullarini esa bilamiz.