Боби I. Мафҳумиҳои табдилоти хаттӣ ва хосиятҳои он

Муодилаи характеристикии матритсаи Жорданӣ. Барои тартиб додани муодилаи характеристикии матритсаҳои жорданӣ хоначаи -и Жорданӣ, яъне дар диогонали асосӣ λ₀ –ҳо чойгиранд аз онҳо λ-ро тарҳ мекунем намуди матритсаро ба диогоналҳо оварад муодилаи характеристики онро меёбем.

Матритса нав аз 𝜆- ҳо матритса иборат аст. 𝜆-матритсаро ба намуди нормалӣ меорем. Аз шакли ифода баробарии зеринро ҳосил мекунем:

Пас, дар сутуни якум ва -умро хат зада, минори тартиби
( -1)-ро ҳосил мекунем:

мебошад. Дар ин ҷо калонтарин тақсимкунандаи умумии тартиби -1 ба як баробар аст, яъне натиҷаи зерин бармеояд:

Бисёраъзогии ба бисёраъзогии тақсим мешавад, ин алгоритмро давом медиҳем, дар натиҷа ба ... ва ғайраҳо ҳосил мешавад.

Аз ифодаи ҳосил шуда баробариҳои зеринро тартиб медиҳем:


Матритсаи Жорданиро ба намуди нормалии диагоналӣ меорем:

Теоремаи 1. Ҳар як матритсаи ихтиёриро бо ёрии табдилотҳои элементарии матритсаҳо ба намуди диагоналҳо овардан мумкин аст. Дар ин ҷо аз хосиятҳои табдилотҳои элементарии матритсаҳо истифода мебарем.
Матритсаҳои характеристикии матритсаҳои Жорданӣ
Фарз мекунем, ки матритсаи Жордании зерин дода шудааст аз он, матритсаи тартиби сеюм,матритсаи тартиби дуюм ва матритсаи тартиби якумро ҳосил мекунем:

Дар ин ҷо як матритсаи хоначаи Жордании тартиби 3 дар диогоналҳо рақами 4, дар боло рақами 1 ва боқимонда элементҳо аз рақами 0 иборат аст матритсаи хоначаи Жордании тартиби 2 ки он аз чор элемент мавчуд аст ва дар диогоналҳо рақами 2 дар болояш рақами 1 ва аз 0 иборат аст. матритсаи хоначаи Жордании тартиби 1-ум мавҷуд аст ва он фақат аз рақами 5 иборат аст.. Инҳоро алаҳида-алоҳида ҷудо карда, ифодаҳои зеринро ҳосил мекунем:

Барои тартиб додани муодилаи хакактеристикӣ чи хеле,дар вақти ёфтани қимати хос ва вектори хос муодилаи зарактеристикиро тартиб медодем ҳамин тавр муайян мекунем :

ин хоначаҳои Жорданӣ матритсаҳои зеринро ифода мекунад:



Аз ин матритсаҳо маълум мешавад, ки тартиби матритсаи воҳидии ба тартиби матритсаи баробар аст.Ин ҷараёнро давом дода, ҳосил мекунем, ки тартиби матритсаи воҳидии ба тартиби матритсаи Жордании ва тартиби матритсаи воҳидии ба тартиби матритсаи баробар аст. Аз рӯи мисолҳои дар боло қайдшуда, муодилаи характеристикии матритсаи Жорданиро ба таври зерин ифода мекунем:

дар ин ҷо тартиби матритсаи воҳидии , ба тартиби , яъне ба баробар аст. Исботи -ро барои ба шакли диагоналии нормалӣ овардан аз леммаи зерин истифода мебарем.
Лемма. Аз бисёраъзогиҳои зерин аққалан дутояш байни ҳам сода бошад, матритсаҳои зерин:
ва 𝜆)=
эквивалент мебошад ва =
Исбот: Барои бисёраъзогиҳои эквиваленти бисёраъзогиҳои мавҷуд буда, он баробарии
-ро ҳосил мекунад.
Сутуни 1-уми матритсаи -ро ба зарб зада, ба сутуни
2-юм ҷамъ мекунем, сутуни 2-и матритсаи -ро ба зарб зада, ба сатри якум ҷамъ мекунем ва матритсаи зеринро ҳосил мекунем:

Сутуни якум ва дуюми матритсаи (2.2.11)-ро иваз мекунем ва аз матритсаи ҳосилшуда, ба сутуни якум -ро зарб карда, ба сутуни дуюм ҷамъ мекунем, ин ҷараёнро давом дода, матритсаи зеринро ҳосил мекунем:

дар ин ҷо мебошад.
Азбаски ва байни ҳам соддаанд, алгоритми дар боло иҷрошударо пай дар пай такрор мекунем ва матритсаи зерин пайдо мегардад:

дар ин ҷо
Ин ҷараёнро то матритсаи ҳосил шудан такрор мекунем. Азбаски дар ин ҷо матритсаи аз матритсаи бо ёрии табдилотҳои элементарии матритсаҳо ҳосил шудаанд, пас ин ду матритса эквивалент аст ва он 𝜆-матритсаро ифода мекунад.
Мисоли 1. Муодилаи характеристикии матритсаи Жорданиро тартиб диҳед.

а) ёки


б)


в) ёки
Дар матритсаи (2.2.10) якто сатр ва сутунҳои табдилотҳои элементарии матритсаҳоро татбиқ мекунем, дар натиҷа матритса намуди зеринро мегирад:

дар ин ҷо нулҳоро наменависем.
Аз -ҳо байни ҳам баробарҳояш низ мавҷуданд. Агар
-ҳо баробар бошад, онҳо дар намуди қаторҳои зерин оварда мешавад:




Ҳамин тавр, -ҳои дар як сатр ҷойгиршуда байни ҳам баробар буда, элементҳои дар сатрҳои ҳархела бошад, ададҳои ҳархеларо тартиб медиҳад.
Аз тарафи дуюм , яъне миқдори -ҳои дар як сатр хобида, аз адади дар сатри дуюм хобида калон мебошанд ва он нобаробариҳои зеринро қонеъ мегардонад:




Дар матритсаи (2.2.14) элементҳои дар диагонали асосии аз як фарқкунандароба таври зерин менависем:
,
Пас, элементҳои додашударо бо тартиби зерин менависем:
,




Мисоли 2. Матритсаи характеристикии тартиби 15-ро ба шакли диагоналии нормалӣ оред.


Барои тартиб додани шакли диагоналии матритсаи характеристикӣ аз формулаҳои (2.2.17) истифода мебарем.
Дар матритсаи додашуда хоначаҳои Жордании тартиби 3, 2, 1 мавҷуданд ва зиёде аз хоначаҳо оиди 2 мебошанд.Пас, тартиби панҷумро ба тартиби 3 ва 2 меорем. Хоначаи ба -3 тааллуқ доштаро ба 4 меорем. Барои матритсаи додашуда ҷадвали (2.2.17) намуди зеринро мегирад:



Аз ифодаҳои ҳосилшуда зарбшавандаҳои зеринро ҳосил мекунем:



азбаски ва аст, пас:
=
Шакли нормалии ин матритсаро тартиб медиҳем: