Bo‘sh bo‘lmagan

2-ma'ruza. O‘rin almashtirishlar gruppasi
Endi chekli nokommutativ gruppa bo‘lgan o‘rin almashtirishlar gruppasini aniqlaymiz. O‘rin almashtirishlar gruppasi bu bo‘sh bo‘lmagan chekli to‘plamni o‘zini o‘ziga o‘tkazuvchi barcha biyektiv akslantirishlar to‘plamining superpozi-tsiya amaliga nisbatan aniqlangan gruppasi hisoblanadi. Ushbu gruppa muhim
gruppalardan bo‘lib, to‘plamning quvvati 2 dan katta bo‘lganda u nokommutativ gruppa bo‘ladi.
Bo‘sh bo‘lmagan X to‘plamda aniqlangan π : X → X biyektiv akslantirishga X to‘plamning o‘rin almashtirishi deb ataladi. X to‘plamning barcha o‘rin almashtirishlaridan iborat bo‘lgan to‘plamni S(X) kabi belgilaymiz. Yuqorida ta’kidlaganimizdek, S(X) to‘plam superpozitsiyasi (kompozitsiya) amaliga nis-batan gruppa tashkil qiladi, ya’ni ixtiyoriy f, g ∈ S(X) o‘rin almashtirishlarning ko‘paytmasi sifatida ularning f ◦ g superpozitsiyasini qaraymiz.
Ushbu amal uchun assosiativlik o‘rinli bo‘lib, birlik element vazifasini ayniy akslantirish, teskari element vazifasini esa teskari akslantirish bajaradi. Ushbu (S(X), ◦) gruppaga o‘rin almashtirishlar gruppasi deb ataladi.
Agar X to‘plam chekli to‘plam bo‘lib, uning elementlari soni n ta, ya’ni |X| = n bo‘lsa, u holda (S(X), ◦) gruppa S_n kabi belgilanadi. S_n o‘rin almashtirish-lar gruppasining elementlarini qulayroq ko‘rinishda yozish uchun quyidagi bel-gilashlarni kiritib olamiz. |X| = n bo‘lganligi uchun X to‘plam o‘rniga I_n = {1, 2, . . . , n} to‘plamni qarab π : I_n → I_n biyektiv akslantirishni
π = {(1, π(1)), (2, π(2)), . . . , (n, π(n))}
(1) π(2) π(3) . . . π(n) ^(1.1)
ko‘rinishda yozib olsih mumkin. Demak, S_n gruppaning ixtiyoriy elementini (1.1) ko‘rinishda yozish mumkin.
Masalan, I₄ da aniqlangan π ∈ S₄ biyektiv akslantirishni π(1) = 2, π(2) = 4, π(3) = 3 va π(4) = 1 ko‘rinishda aniqlasak, bu elementni quyidagicha yozish mumkin:
1.2.1-tasdiq. S_n (n ≥ 3) gruppa nokommutativ (kommutativ emas) va |S_n| = n!.
Isbot. Dastlab, ushbu gruppaning nokommutativ ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun quyidagi π₁, π₂ ∈ S_n elementlarni qaraymiz
2.1-ta’rif. π ∈ S_n o‘rin almashtirish
2 ⁱ3 ^{. . . i}k ⁱ1
ko‘rinishda aniqlangan bo‘lsa, ya’ni π(i₁) = i₂, π(i₂) = i₃, . . . , π(i_k−1) = i_k, π(i_k) = i₁ bo‘lib, a ∈ I_n \ {i₁, i₂, . . . , i_k} elementlar uchun π(a) = a bo‘lsa, u holda bu o‘rin almashtirishga uzunligi k ga teng bo‘lgan sikl yoki k-sikl deb ataladi va (i₁, i₂, . . . , i_k) ko‘rinishida yoziladi. Uzunligi 2 ga teng bo‘lgan sikl esa transpozitsiya deyiladi.
Uzunligi k ga teng bo‘lgan π = (i₁, i₂, . . . , i_k−1, i_k) siklni k xil usulda yozish mumkin, ya’ni quyidagi tengliklar o‘rinli
π = (i₁, i₂, . . . , i_k−1, i_k) = (i₂, i₃, . . . , i_k, i₁) = · · · = (i_k, i₁, . . . , i_k−2, i_k−1).
Sikl ko‘rinishidagi o‘rin almashtirishlarni sonlarning orasiga vergul qo‘ymasdan (i₁i₂ . . . i_k) kabi yozish ham qabul qilingan. Masalan, (S₃, ◦) gruppaning barcha elementlari
.2-ta’rif. Bizga π₁, π₂ ∈ S_n o‘rin almashtirishlar berilgan bo‘lsin. Agar π₁(k) 6= k shartni qanoatlantiruvchi barcha k lar uchun π₂(k) = k bo‘lib, va aksin-cha π₂(i) 6= i lar uchun π₁(i) = i bo‘lsa, u holda π₁ va π₂ o‘rin almashtirishlar kesishmaydigan o‘rin almashtirishlar deyiladi.
3 1 5 4 ^{o‘rin almashtirish uchun π = π1 ◦ π2 = π2 ◦ π1}
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu esa, π o‘rin almashtirishni kesishmaydigan π₁ va π₂ sikl-larning ko‘paytmasi shaklida ifodalanishini bildiradi. Bundan tashqari, o‘zaro ke-sishmaydigan o‘rin almashtirishlar uchun kommutativlik xossasi o‘rinli bo‘lib, bir nechta o‘zaro kesishmaydigan o‘rin almashtirishlarni ko‘paytirganda ham ularning joylashish tartibi ahamiyatga ega emas.
Quyidagi teoremada birlik elementdan farqli bo‘lgan ixtiyoriy o‘rin al-mashtirishni kesishmaydigan sikllar ko‘paytmasi ko‘rinishida yozish mumkinligi ko‘rsatiladi.
2.1-teorema. Ixtiyoriy π ∈ S_n (n ≥ 2) o‘rin almashtirish o‘zaro kesishmaydi-gan sikllar ko‘paytmasi ko‘rinishida (sikllarning joylashish tartibini hisobga olma-gan holda) yagona tarzda ifodalanadi.
Isbot. Teoremani isbotlash uchun induksiya usulidan foydalanamiz. Agar n = 2 bo‘lsa, u holda S₂ = {e, (12)} bo‘lib, teorema o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi. Teoremani barcha S_k, 2 ≤ k < n gruppalar uchun o‘rinli bo‘lsin deb faraz qilib, uni S_n uchun isbotlaymiz. Ixtiyoriy π ∈ S_n, π 6= e element uchun {π(1), π²(1), π³(1), . . . , π^s(1), . . . } ⊆ I_n to‘plamni qaraymiz. I_n to‘plam chekli bo‘lganligi uchun, π^l(1) = π^m(1) tenglikni qanoatlantiradigan l va m natural son-lari mavjud. U holda p = |l − m| uchun π^p(1) = 1. Demak, π^p(1) = 1 tenglikni qanoatlantiruvchi p natural soni mavjud. Bunday sonlarning eng kichigini i deb belgilaymiz, ya’ni i = min