Бошšариш тўЂрисида тушунча

Маъруза № 9
Турғунликнинг алгебраик мезонлари.
Раус турғунлик мезони. Гурвиц турғунлик мезони. Льенар-Шипар турғунлик мезони.

Системанинг турғунлиги характеристик тенгламаларнинг илдизларини ҳисобга олмасдан туриб аниқлайдиган қоидалар турғунлик мезонлари эканини билдиради.

Турғунликнинг алгебраикмезони характеристик тенгламанинг коэффициентлари орқали системанинг турғунлиги ҳақида фикр юритиш имконини беради.
(1)
Турғунликнинг алгебраик мезонидан Раус ва Гурвиц мезонлари энг кўп қўлланилади.
Характеристик тенгламанинг ҳамма коэффициентларини мусбат бўлиши системанинг турғун бўлиши учун зарурий шартдир.
(2)
Раус ва Гурвиц мезонлари математик жиҳатдан эквивалентдир.


Раус турғунлик мезони.
Рауснинг турғунлик мезони 1887 йил инглиз математиги Э.Раус томонидан таклиф қилинган. Бу мезонни қуйидаги жадвал орқали тушунтириш мумкин.

ri коэф-ти	i қатор	Устун
		1	2	3	4
–	1	a0=c11	a2=c21	a4=c31	……
–	2	a1=c12	a3=c22	a5=c32	……
	3	с13=a2-r3a3	с23=a4-r3a5	с33=a6-r3a7	……
	4	с14=a3-r4a23	с24=a5-r4a33	с34=a7-r4a43	……
	5	с15=c23-r5с24	с25=c33-r5с34	с35=c43-r5с44	……
……	…	……	……	……	……
	i	с1,i=c2,i-2-riс2, i-1	с2,i=c3,i-2-riс3, i-1	с3,i=c4,i-2-riс4, i-1	……

Жадвалнинг биринчи қаторига характеристик тенглама коэффициентлари индекси ошиб бориш тартибида жуфт индексли a₀, a₂, a₄, a₆, … иккинчи қаторига эса тоқ индексли a₁, a₃, a₅, a₇, … коэффициентлар жойлаштирилади.

Жадвалнинг қолган ҳар бир коэффициентлари қуйидагича топилади.
, (3)
бу ерда
***
Гурвиц турғунлик мезони.
Бу мезон 1877 йилда инглиз олими Раусс ва 1893 йилда немис математиги Гурвиц томонидан таърифланган:
n-тартибли чизиқли тизимнинг турғун бўлиши учун берилган тизимнинг характеристик тенгламасида коэффициентлардан ташкил топган n та аниқловчилар мусбат бўлиши зарур ва етарли:
(9)
Бунда қуйидаги қоидаларга асосан коэффициент a₀ > 0 бўлиши ке-рак:

1. 
   бош диоганал бўйича «а₁» дан то «а_n» гача ўсиш тартиби билан ёзиб чиқилади;
   
2. 
   бош диоганалга нисбатан қаторларнинг пастга томон индекслари камаювчи, юқорига томон индекслари ўсиб борувчи коэффициентлар билан тўлдирилади;
   
3. 
   индекслари нолдан кичик ҳамда «n» дан катта бўлган коэффициентлар ўрнига ноллар ёзилади;
   
4. 
   Гурвиц аниқловчисининг юқори тартиби характеристик тенгламанинг даражасига тенг бўлади;
   
5. 
   Гурвиц аниқловчисининг охирги тартиби га тенгдир.
   

Гурвиц мезонининг таърифи:
Агарда бўлиб, Гурвицнинг ҳамма аниқловчилари нолдан катта бўлса, у ҳолда система турғун бўлади, яъни бўлганда ; ; бўлиши керак. бўлиши Гурвиц аниқловчисининг тузилиш структурасидан келиб чиқади. Шунга кўра, агар бўлса, система турғунлик чегарасида бўлади. Бу тенглик эса икки ҳолда, яъни ёки бўлганда бажарилиши мумкин.
Агарда бўлса, унда текширилаётган система турғунлик ҳолатининг апериодик чегарасида бўлади (яъни характеристик тенгламанинг битта илдизи нолга тенг бўлади).
Агарда бўлса, унда текширилаётган система турғунлик ҳолатининг тебранма чегарасида бўлади (яъни характеристик тенглама жуфт мавҳум илдизга эга бўлади).
Энди га тенг бўлган тенгламалар билан ифодаланган системалар учун Гурвиц мезонининг шартларини кўриб чиқамиз.

1. 
   
   

Бунда ; турғунлик шарти бўлади. Демак, биринчи тартибли системалар турғун бўлиши учун характеристик тенглама коэффициентларининг мусбат бўлиши етарлидир.

2. 
   .
   

Бунда турғунлик шартлари қуйидагича бўлади:
a₀=0; ;
Демак, иккинчи тартибли тенглама билан ифодаланган системаларнинг турғун бўлиши учун характеристик тенглама коффицентларининг мусбат бўлиши етарли шарт ҳисобланади.

3. 
   
   

Турғунликнинг зарурий шартлари:
a₀>0; ;
Шундай қилиб, учунчи тартибли тенглама билан ифодаланган система турғун бўлиши учун характеристик тенглама коэффицентларининг мусбат бўлиши етарли бўлмай, бунда тенгсизликнинг бажарилиши зарур шарт ҳисобланади.
г)
Турғунлик шартлари:
a₀>0; ; ;
.
Тўртинчи тартибли тенглама билан ифодаланган системалар турғун бўлиши учун характеристик тенглама коэффицентларининг мусбат бўлишидан ташқари яна икки шартлар бажарилиши керак.
Характеристик тенгламанинг даражаси «n» ортган сари юқоридаги каби бажарилиши керак бўлган шартлар ҳам кўпайиб боради. Шунинг учун турғунликнинг Гурвиц мезонининг n≤4 бўлган системалар учун қўллаш мақсадга мувофиқ бўлади.


Мисоллар:
1. 12p³+10p²+8p+10=0 характеристик тенглама берилган бўлсин.
Бунда a₀=12>0, a₂=8>0,
a₃=10>0, a₃=10>0
Гурвиц мезонининг етарли шарти бажарилган. Энди зарур шартини аниқлаймиз. Бунинг учун

Нолдан кичик бўлганлиги сабабли система нотурғун бўлади.
.


2. 0.1p⁴+6p³+4p²+p+4=0 тенглама берилган бўлсин.
Бунда a₀=0.1>0, a₁=6>0, a₂=4>0,
a₃=1>0, a₄=4>0.


=а₁a₂-а₀a₃=6*4-0.1*1=24-0.1=23.9>0;
=1*23.9-2²*4=23.9-16=7.9>0.
=4*7.9=31.6>0.
Гурвиц мезонининг етарли ва зарурий шарти бажарилганлиги сабабли система турғун.

3. 
   3p⁵+10p⁴+5p³-7p²+p+100=0 тенглама берилган бўлсин.
   

Бунда a₀=3>0, a₁=10>0, a₂=5>0,
a₃=-7<0, a₄=1>0, а₅=100>0.
a₃=-7 манфий ишорали бўлганлиги сабабли Гурвиц мезонининг зарурий шарти бажарилмаяпти. Шунинг учун бу система нотурғун.