Boshlng`ich matemtika kursi nazariyasi fanidan ma`ruza mashg`ulotlari

R
yo
yo	R

Masalan, A: «17 —tub son»;

«17 — tub son emas»;

: «17 — tub son emasligi yolg’on» yoki «17 — tub son».

Mulohazalar konyunksiyasi.

3-ta’rif.Ikkita sodda A, B mulohazalardan tuzilgan «A va

B» mulohazaga mulohazalar konyunksiyasi deyiladi.
The easiest way to clarify the meaning of these logical connectives is by

using truth tables. The truth table for ^ is¹

A	B	A ˄ B
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

A	B	A∧B
R	R	R
R	Y	Y
Y	R	Y
Y	Y	Y

Mulohazalar konyunksiyasi uning tarkibiga kirgan mulohazalar rost bo’lganda, rost bo’ladi va «A∧B» yoki «A&B» ko’rinishda yoziladi hamda «A va B» kabi o’qiladi. Konyunksiyaning rostlik jadvali 38-betdagi ko’rinishda bo’ladi:

Masalan, a) A: «5 — tub son» — (R); B: «5 >6» — (Y) bo’lsin, u holda A∧B: «5 — tub son va u 6 dan katta» — yolg’on mulohaza bo’ladi.

b) A: «3<8» —(R),B: «8< 11» — (R), A∧B: «3 <8∧8< 11» yoki «3<8< 11», ya’ni tengsizliklar konyunksiyasini qo’sh tengsizlik ko’rinishida yozish mumkin va aksincha; ta’rifga ko’ra «3 <8 < 11» — rost mulohaza.

Mulohazalar konyunksiyasining xossalari:

1°. A∧ B = B∧A(kommutativlik);

2°. (A∧ B)∧ C = A∧(B∧C) = A∧B∧C(assotsiativlik);

3°. A∧ = Y (A∧ — aynan yolg’on mulohaza).

Mulohazalar konyunksiyasi xossalarining to’g’riligini rostlik jadvallari tuzish va mos kataklardagi murakkab mulohazalar qiymatlarini taqqoslab tekshirish mumkin.

Mulohazalar dizyunksiyasi.

1-ta’rif. Ikkita sodda A, B mulohazalardan tuzilgan «A yoki B» mulohazaga mulohazalar dizyunksiyasi deyiladi.¹

A	B	A ˅ B
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

The truth table for ˅ is

A	B	A∨ B
R	R	R
R	Y	R
Y	R	R
Y	Y	Y

Mulohazalar dizyunksiyasi «A∨ B» ko’rinishda yoziladi, «A yoki B» deb o’qiladi va uning tarkibiga kirgan mulohazalarning hech bo’lmaganda bittasi rost bo’lganda, rost bo’ladi.

Dizyunksiyaning rostlik jadvali quyidagicha:

Masalan:

a) A: «Varshava shahri Germaniyaning Poytaxti» — Y.

B: «Varshava shahri Polshaning Poytaxti» — R.

A∨ B: «Varshava shahri Germaniyaning yoki ‘olshaning ‘oytaxti» — R.

b) A: «10 — juft son» — R.

B: «𝜋 — irratsional son» — R.

A∨ B: «10 — juft son yoki 𝜋 — irratsional son» — R.

d) A: «15 — juft son» — Y.

B: «Kvadrat topato’g’ri to’rtburchak emas» — Y.

A∨ B: «15 — juft son yoki kvadrat toprtburchak emas» — Y.

Mulohazalar dizyunksiyasining xossalari:

1°. A∨ B = B ∨ C(kommutativlik).

2°. (A∨ B)∨ C = A∨ (B∨ C) = A∨ B∨ C(assotsiativlik).

3°. A ∨ A = R (A∨ A) — aynan rost mulohaza).

4°. A∨ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) — dizyunksiyaning konyunksiyaga nisbatan distributivligi).

5°A ∧( B∨ Q) = (A ∧ B) ∨ (A∧ Q) — konyunksiyaning dizyunksiyaga nisbatan distributivligi.

6°. De-Morgan qonunlari (De-Morgan shotland matematigi (1806—1871)).

Tengliklarning topg’riligi rostlik jadvalini tuzib isbot qilinishi mumkin.

De-Morgan qonunlarini olaylik. a) = , ya’ni mulo- hazalar konyunksiyasi inkori mulohazalar inkorlarining dizyunksiyasi bilan ekvivalent.

Rostlik jadvalini tuzamiz.

A	B			A∧ B
R	R	Y	Y	R	Y	Y
R	Y	Y	R	Y	R	R
Y	R	R	Y	Y	R	R
Y	Y	R	R	Y	R	R

Jadvalning oxirgi ikki ustuni A va B mulohazalar qiymatlarining turli kombinatsiyalarida bir xil. Demak, = ekanligi

topg’ri.

Misol keltiraylik.

A — «Men shaxmat o’ynayman».

B — «Men tennis o’ynayman».

— «Mening shaxmat va tennis o’ynashim yolg’on».

— «Men shaxmat yoki tennis o’ynamayman».

Mavzuga doir savollar:

1. 
   Kimyo, fizika, geografiya, tarix fanlariga oid tushunchalarni ayting, bu fanlar uchun umumiy bo’lgan tushunchalarni toping.
   
2. 
   Biror tushunchani tanlab, uning muhim va muhim bo’lmagan xossalarini ayting.
   
3. 
   Biror tushuncha misolida hajm va mazmun orasidagi teskari bog’lanishni ko’rsating.
   
4. 
   Biri ikkinchisi uchun umumiy bo’ladigan tushunchalar ketma-ketligini tuzing.
   
5. 
   Tushunchani ta’riflash usullariga oid misollar keltiring.
   
6. 
   “Darak gaplar”, “So’roq gaplar” va “His-hayajon gaplarning barchasi mulohaza bo’la oladi-mi?
   
7. 
   Murakkab mulohaza sodda mulohaza bilan nimasi bilan farq qiladi?
   
8. 
   Mulohazalar ustida bajariladigan qanday mantiqiy amallarni bilasiz?
   
9. 
   Mulohaza ta’rifini ayting.
   
10. 
    Inkor amalining ta’rifini ayting.
    
11. 
    Konyunksiya amalining ta’rifini va xossasini ayting.
    
12. 
    Mulohazalar dizyunksiyasining ta’rifi va xossasini ayting.
    
13. 
    Mulohazalar dizyunksiyasining rostlik jadvalini ko’rsating.
    

Mulohaza va ular ustida amallar

1. 
   Mulohazalar implikatsiyasi.
   

2-ta’rif.Sodda A va B mulohazalardan tuzilgan «AgarA bo’lsa, B bo’ladi» ko’rinishidagi mulohaza A va B mulohazalarning implikatsiyasi deyiladi va «A⇒B» ko’rinishda belgilanadi.

A⇒ B implikatsiya faqat A rost B yolg’on bo’lgandagina yolg’on bo’ladi. A — implikatsiya sharti, B — xulosasi deyiladi. A ni B uchun yetarli, B ni A uchun zaruriy shart deb ham ataladi. Implikatsiyaning rostlik jadvali quyidagicha bo’ladi:

A	B	A⇒ B
R	R	R
R	Y	Y
Y	R	R
Y	Y	R

Masalan, a) A:«15 soni 3 ga bo’linadi» — R; B:«15 sonining raqamlari yig’indisi 3 ga bo’linadi» — R. A ⇒B:«Agar 15 soni 3 ga bo’linsa, u holda 15 sonining raqamlari yig’indisi 3 ga bo’linadi» — R.

b) A:«5 · 5 = 25», B:«5 + 5 = 15» bo’lsin. A ⇒B:«Agar

5⋅5 = 25 bo’lsa, u holda 5+5=15bo’ladi» — Y.

d) A:«25 sonining yozuvi 0 raqami bilan tugamaydi» — R. B: «25 soni 10 ga bo’linadi» — Y. A⇒B: «Agar 25 sonining yozuvi

0 raqami bilan tugamasa, u holda 25 soni 10 ga bo’linadi» — Y.

Agar A⇒ Bim’likatsiya berilgan bo’lsa, B ⇒Aunga teskari,A⇒Besa qarama-qarshi, B ⇒Aesa qarama-qarshiga teskari implikatsiyalar deyiladi.

Mulohazalar implikatsiyasining xossalari:

1°. A⇒B= ∨ B.

2°. A⇒B= B ⇒ A(kontrapozitsiya qonuni).

Mulohazalar ekvivalensiyasi.

Thus p q is true if p and q are either both true or both false.

We say that a well-formed proposition is true if its truth-value is true

whatever truth-values are assigned to the atomic propositions it contains.

Truth tables allow you to determine whether any well-formed proposition

is true or false.

3-ta’rif. Sodda A va B mulohazalardan tuzilgan «A faqat va faqat B bo’lgandagina bo’ladi» ko ‘rinishdagi mulohaza A va B ning ekvivalensiyasi deyiladi va «A⇔B» ko ‘rinishda yoziladi.¹

A⇔Bekvivalensiya A va B mulohazalarning qiymatlari bir xil bo’lganda rost bo’ladi. Ekvivalensiyaning rostlik jadvali:

A	B	A⇔B
R	R	R
R	Y	Y
Y	R	Y
Y	Y	R

Masalan, «129 soni 3 ga faqat va faqat uning raqamlari yig’indisi 3 ga bo’linsagina bo’linadi».

129⋮3⇔(1+2+9)⋮3. — Rost

Tarkibiga kirgan ixtiyoriy elementar mulohazalarning rost yoki yolg`onligidan qat’iy nazar rost bo`ladigan murakkab mulohaza tavtologiya deyiladi. Ularning rostligi rostlik jadvali yordamida isbot qilinadi.

Prove them using truth tables, and say what they mean in words.

• 
  Modus Ponens: (p ˄ (p → q)) → q;
  

• 
  Modus Tollens: (p → q) ˄ ¬ q) → ¬ p;
  
• 
  ((p → q) ˄ (q → r)) → (p → r);
  
• 
  ((p ˅ q) ˄ ¬ p) → q;
  
• 
  ((p ˅ q) ˅ r) (p ˅ (q ˅ r))
  
• 
  ((p ˄ q) ˄ r) (p ˄ (q ˄ r))
  
• 
  ((p → q) ˄ (r → s) ˄ (p ˅ r)) → (q ˅ s);
  
• 
  p ˄ q → p
  
• 
  p → p ˅ q
  
• 
  ((p → q) ˄ (p → r)) → (p → (q ˄r));
  
• 
  De Morgan’s Theorem I: ¬ (p ˄ q) (¬ p ˅ ¬ q)
  
• 
  De Morgan’s Theorem II: ¬ (p ˅ q) (¬ p ˄ ¬ q)
  
• 
  Double Negation: ¬¬p p;
  

• 
  Distributive I: p ˄ (q ˅ r) (p ˄ q) ˅ (p ˄ r);
  
• 
  Distributive II: p ˅ (q ˄ r) (p ˅ q) ˄ (p ˅ r);
  
• 
  p ˅ ¬ p.
  

Quyidagi tavtologiyalarning rostligini rostlik jadvali orqali isbotlang.

• 
  «Modus Ponens»: (p ˄ (p → q)) → q;
  
• 
  «Modus Tollens»: (p → q) ˄ ¬ q) → ¬ p;
  
• 
  ((p → q) ˄ (q → r)) → (p → r);
  
• 
  ((p ˅ q) ˄ ¬ p) → q;
  
• 
  ((p ˅ q) ˅ r) (p ˅ (q ˅ r))
  
• 
  ((p ˄ q) ˄ r) (p ˄ (q ˄ r))
  
• 
  ((p → q) ˄ (r → s) ˄ (p ˅ r)) → (q ˅ s);
  
• 
  p ˄ q → p
  
• 
  p → p ˅ q
  
• 
  ((p → q) ˄ (p → r)) → (p → (q ˄r));
  
• 
  de-Morgan 1 -teoremasi: ¬ (p ˄ q) (¬ p ˅ ¬ q)
  
• 
  de-Morgan 21 -teoremasi: ¬ (p ˅ q) (¬ p ˄ ¬ q)
  
• 
  Inkorni-inkor qonuni: ¬¬p p;
  
• 
  1-distributivlik qonuni: p ˄ (q ˅ r) (p ˄ q) ˅ (p ˄ r);
  
• 
  1-distributivlik qonuni: p ˅ (q ˄ r) (p ˅ q) ˄ (p ˅ r);
  
• 
  p ˅ ¬ p.¹
  

1^ Herbert Gintis. Mathematical Literacy for Humanists. Printed in the United States of America, 2010. 5-b.

1^ Herbert Gintis. Mathematical Literacy for Humanists. Printed in the United States of America, 2010. 5-b.

1^ Herbert Gintis. Mathematical Literacy for Humanists. Printed in the United States of America, 2010. 6-b.

1^ Herbert Gintis. Mathematical Literacy for Humanists. Printed in the United States of America, 2010