Цель дисциплины состоит в получении студентами прочных теоретических знаний и твердых практических навыков в области высшей математики

Пример 2. Рассмотрим КМНК на примере следующей идентифицируемой модели, содержащей две эндогенные и две экзогенные переменные:

Для построения модели мы располагаем информацией, представленной в таблице 4.
Таблица 4.
Фактические данные для построения модели

n	у1	у2	х1	х2
1	33,0	37,1	3	11
2	45,9	49,3	7	16
3	42,2	41,6	7	9
4	51,4	45,9	10	9
5	49,0	37,4	10	1
6	49,3	52,3	8	16
Сумма	270,8	263,6	45	62
Средн. знач.	45,133	43,930	7,500	10,333

Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели.

где u₁ и u₂ – случайные ошибки.
Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов  можно применить МНК.
Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней и ( и – средние значения). Преобразованные таким образом данные таблицы 4 сведены в таблицу 5. Здесь же показаны промежуточные расчеты, необходимые для определения коэффициентов .
Для нахождения коэффициентов первого приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Таблица 5
Преобразованные данные для построения приведенной формы модели

n	Y1	Y2	X1	X2	Y1X1	X1^2	X1X2	Y1X2	Y2X1	Y2X2	X2^2
1	‑12,133	‑6,784	‑4,500	0,667	54,599	20,250	‑3,002	‑8,093	30,528	‑4,525	0,445
2	0,767	5,329	‑0,500	5,667	‑0,383	0,250	‑2,834	4,347	‑2,664	30,198	32,115
3	‑2,933	‑2,308	‑0,500	‑1,333	1,467	0,250	0,667	3,910	1,154	3,077	1,777
4	6,267	1,969	2,500	‑1,333	15,668	6,250	‑3,333	‑8,354	4,922	‑2,625	1,777
5	3,867	‑6,541	2,500	‑9,333	9,667	6,250	‑23,333	‑36,091	‑16,353	61,048	87,105
6	4,167	8,337	0,500	5,667	2,084	0,250	2,834	23,614	4,168	47,244	32,115
Сумма	0,002	0,001	0,000	0,002	83,102	33,500	‑29,001	‑20,667	21,755	134,417	155,334

Подставляя рассчитанные в таблице 5 значения сумм, получим

Решение этих уравнений дает значения ₁₁ = 2,822 и ₁₂ = 0,394. Первое уравнение приведенной формы модели примет вид
.
Для нахождения коэффициентов _2k второго приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Подставляя рассчитанные в таблице 5 значения сумм, получим

Решение этих уравнений дает значения ₂₁ = 1,668 и ₂₂ = 1,177. Второе уравнение приведенной формы модели примет вид
.
Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем из второго уравнения приведенной формы модели
.
Подставим это выражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение

.
Таким образом, b₁₂ = 0,335; a₁₁ = 2,264.
Найдем из первого уравнения приведенной формы модели
.
Подставим это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение

.
Таким образом, b₂₁ = 0,591; a₂₂ = 0,944.
Свободные члены структурной формы находим из уравнений
,
.
Окончательный вид структурной модели

Пример 3. Изучается модель вида:

Требуется:
1. Оценить следующую структурную модель на идентификацию:
2. Исходя из приведенной формы модели уравнений

найти структурные коэффициенты модели.
Решение.
1. Модель имеет три эндогенные (у₁, у₂, у₃) и три экзогенные (х₁, х₂, х₃) переменные.
Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.
Первое уравнение.
Н: эндогенных переменных – 2 (у₁, у₃), отсутствующих экзогенных – 1 (x₂).
Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.
Д: в первом уравнении отсутствуют у₂ и x₂. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
	y2	X2
Второе	–1	a22
Третье	b32	0

DetA = l0  b₃₂a₂₂  0.
Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.
Второе уравнение.
Н: эндогенных переменных – 3 (y₁, y₂, y₃), отсутствующих экзогенных – 2 (x₁, x₃).
Выполняется необходимое равенство: 3=2+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.
Д: во втором уравнении отсутствуют x₁ и x₃. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
	x1	x3
Первое	a11	a13
Третье	a31	a33

DetA = a₁₁a₃₃  a₃₁a₁₃  0.
Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.
Третье уравнение.
Н: эндогенных переменных – 2 (y₂, y₃), отсутствующих экзогенных – 1 (x₂).
Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.
Д: в третьем уравнении отсутствуют y₁ и x₂. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
	y1	x2
Первое	–1	0
Второе	b21	a22

DetA = la₂₂  b₂₁0  0.
Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение точно идентифицируемо.
Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов.
2. Вычислим структурные коэффициенты модели:
1) из третьего уравнения приведенной формы выразим х₂ (так как его нет в первом уравнении структурной формы):
.
Данное выражение содержит переменные y₃, x₁ и x₃, которые нужны для первого уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим полученное выражение x₂ в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ):

– первое уравнение СФМ:
2) во втором уравнении СФМ нет переменных x₁ и x₃. Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа:
Первый этап: выразим x₁ в данном случае из первого или третьего уравнения ПФМ. Например, из первого уравнения:
.
Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы задачу до конца, так как в выражении присутствует x₃, которого нет в СФМ.
Выразим x₃ из третьего уравнения ПФМ:
.
Подставим его в выражение x₁:
;
.
Второй этап: аналогично, чтобы выразить x₃ через искомые y₁, y₃, и x₂, заменим в выражении x₃ значение x₁ на полученное из первого уравнения ПФМ:

Следовательно,
.
Подставим полученные x₁ и x₃ во второе уравнение ПФМ:

– второе уравнение СФМ.
3) из второго уравнения ПФМ выразим x₂, так как его нет в третьем уравнении СФМ:
.
Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ:

– третье уравнение СФМ.
Таким образом, СФМ примет вид