Чегаравий масалаларни ечишнинг чекли-айирмалар усули

Чегаравий масалаларни ечишнинг чекли-айирмалар усули.

Иккинчи тартибли, ўзгарувчан коэффициентли оддий дифференциал тенгламанинг кўриниши қуйидагича бўлади:

(1)
дифференциал тенгламанинг ечимларига оралиқнинг четки ва нуқталарида
(2)
чегаравий шартлар берилган бўлсин, (1) тенглама ва (2) чегаравий шартларни қаноатлантирувчи функция дифференциал тенгламанинг хусусий ечими дейилади.
(1) да берилган p(x), q(x), коэффициент функцияларнинг [a, b] оралиқда узлуксизлиги талаб қилинади. чегаравий шарт белгилари бўлган ўзгармас сонлар ҳисобланади.


Чекли айирмалар усули.
Иккинчи тартиб (1) дифференциал тенгламага қўйилган (2) чегаравий масалани чекли айирмалар усули билан ечиш учун [a,b] оралиқни формула ёрдамида бўлакларга бўламиз, бу ерда қадам, - оралиқни бўлакка бўишлар, ёки тугун нуқталар сони.
нуқталар учун юқоридаги (1) тенглама ўринли бўлгани учун, уни шу нуқталарда ёзиб оламиз:


(3)

қулайлик учун, бу тенгламани қуйидаги кўринишда ёзиб оламиз:

(4)
(4) тенгламадаги ҳосилалар ўрнига қуйидаги уларнинг чекли айирма формулаларни қўямиз:


(5)
.

Натижада (1) дифференциал тенглама ўрнига ҳосилалар қатнашмаган ва номаълумлардан иборат тенгламалар системасини :

.
Ҳосил бўлган тенгламани ҳар иккала томонини га кўпайтирамиз ва мос ҳадларни группалаймиз, натижада қуйидаги тенгламалар системасини ҳосил қиламиз:
. (6)
Бу ерда:

ёки


(7)
Ҳосил бўлган система лардан иборат ( )та номаълумли, та тенгламадан иборат уч диагоналли чизиқли тенгламалар системасидан иборат.
Уч диагоналли бўлишига сабаб, системадаги ҳар бир тенгламада фақат 3 тадан номаълум қатнашган ҳадлар мавжуд бўлиб, системада уларнинг жойлашган ўрни асосий диагонал, уни пасти ва юқорисидаги диагоналларга мос келади
Маълумки, тенгламалар системасининг ягона ечимини аниқлаш учун тенгламалар ва номаълумлар сони тенг бўлиши керак. Шунинг учун иккита тенгламани чегаравий шарт ҳисобига тўлдириб оламиз. ва оралиқнинг четки нуқталари учун (2) шартларни қуйидагича ёзиб оламиз:



-ларни мос равишда (10) ва (11) чекли айирмалар формулалар билан алмаштирамиз, яъни ни ёки нуқтадаги ҳосиласи учун ўнг чекли айирма формуласини, ёки нуқтадаги ҳосиласи учун чап чекли айирма формуласини қўямиз:

қуйидагича белгилашларни киритиб ,

Ҳосил қилинган тенгламаларни (7) тенгламалар системасига қўшамиз натижада ( )та номаълумли, ( )та тенгламадан иборат номаълумли қуйидаги чизиқли алгебраик тенгламалар системасига эга бўламиз:


( ) (8)

Маълумки, қидирилаётган тақрибий ечимнинг аниқлик даражасини ошириш учун [a,b] оралиқда киритилган тўрнинг қадамини кичрайтириш лозим. Бу миқдорни кичрайтириш учун эса ўз навбатида тугун нуқталар нинг сонини кескин ошишига олиб келади. Шундай қилиб, қўйилган масалани зарур аниқликда ечиш учун ҳосил қилинган (8) системанинг тартиби минг, айрим ҳолларда эса ўн мингдан ҳам ортиқ бўлиши мумкин.

Юқорида эслатганимиздек, системанинг ҳар бир тенгламасида фақат учтадангина номаълум қатнашган ҳадлар мавжуд қолган номаълумларнинг коэффицентлари 0 га тенг. Агарда биз бундай системани анъанавий усуллар (Гаусс, Крамер, тескари матрица каби) ёрдамида ечмоқчи бўлсак, ноллар устида маъносиз бўлган хажмдаги амалларни бажаришимизга тўғри келади.
Шунинг учун, бундай махсус системаларни ечишнинг махсус усуллари ишлаб чиқилган. Бу усулларнинг энг соддаси, дастурлашга қулайи, хатолар йиғилмасини ҳосил қилмайдигани “ҳайдаш” усули ҳисобланади.
Қуйида “Хайдаш ” усулининг қисқача моҳияти билан танишиб чиқамиз.
Махсус, диагоналли системаларни ечишга мўлжалланган “Хайдаш” усули икки босқичдан иборат:

• 
  номаълум коэффицентларни аниқлаш (тўғри босқичи);
  
• 
  системанинг ечимларини аниқлаш (тескари) босқичи.