Chegirmalarning to`la sistemasi

2-T e o r e m a. m modul bilan o`zaro tub chegirmalar sinflari to`plami 
ko`paytirish amaliga nisbatan abel gruppa tashkil qiladi. 
I s o b o t i. G
m 
to`plam m modul bilan o`zaro tub chegirmalarning barcha 
sinflari to`plami bo`lsin. m modul bilan o`zaro tub chegirmalar sinflarining 
ixtiyoriy ikkitasining ko`paytmasi yana modul bilan o`zaro tub chegirmalar sinfi 
bo`ladi.
G
m 
dagi 
sinflarni 
ko`paytirish 
amali 
kommutativlik 
va 
assotsiativlikxossalariga ega. 
C
1 
sinf ko`paytirish amaliga nisbatan neytral element bo`ladi . Ixtiyoriy C
i
ϵ G
m
sinf uchun teskari sinf mavjudligini ko`rsatamiz. G
m
= { C
1
, C
2
, . . . , C
ϕ(m)
} 
bo`lsin. Bunda ϕ (m) – Эyler funksiyasi. 
a
1 
, a
2
, . . . , a
ϕ(m) 
lar m  modul bo`yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasi 
va a
i
ϵ C
i
( i = 1, ϕ (m) ) bo`lsin. 1- Teoremaga asosan a
i 
· a
1
, a
i 
· a
2
, . . . , a
i 
· a
ϕ(m)
lar ham chegirmalarning keltirilgan sisremasini tashkil qiladi. Ular orasida m  
modul bo`yicha 1 bilan taqqoslanuvchi a
i 
a
k
element mavjud, yani
a
i 
· a
k
 ≡ 1(mod m ) o`rinli. U holda C
i 
· C
k
 = C
1
tenglik o`rinli bo`lib, C
k
sinf 
C
i 
sinfga teskari sinf bo`ladi. Demak, < G
m
, · , 
-1
> algebra abel gruppasi ekan.
Ta’rif. < G
m
, · , 
-1
> gruppa m modul bilan o`zaro tub chegirmalar 
sinflarining multiplikativ gruppasi  deyiladi.
M i s o l. m = 6 modul bo`yicha G
6
= { C
1
, C
5 
} to`plam multiplikativ gruppa 
bo`ladi. Haqiqatan, ko`paytirish amali quyidagicha aniqlanadi: 
C
1 
· C
1
 = C
1
,
 
C
1 
· C
5
 = C
5
, C
5 
· C
5
 = C
1
. 

---

Bu tengliklardan ko`rinadiki, C
1 
 va C
5
sinflar o`ziga -o`zi teskari sinflar, C
1 
sinf 
esa neytral element bo`ladi. Demak, assotsiativlik xossasi bajariladi.