Chekli uzluksiz kasrlar Uzluksiz kasr

lar munosib kasrlar deyiladi va .
Munosib kasrlar va kasr orasida quyidagi munosibatlar o’rinli:

Bu tengsizliklardan berilgan kasr ikkita qo’shni munosib kasrlar orasida joylashganligi va tartib oshgani sari bu qo’shni kasrlar intervali kichrayib borishi ko’rinyapti. Shuning uchun ham bunday kasrlar «munosib kasrlar» deyiladi.
Ketma-ket uchta munosib kasrlar suratlari va maxrajlari k = 2 dan boshlab quyidagi bog’lanish o’rinli:

Agar shartli ravishda P_-1=1, Q_-1= 0, Q₀ = 1 qabul qilsak, u holda barcha munosib kasrlarni quyidagi sxema yordamida topish mumkin:

k		0	1	2	…	k	…	n
qk		q0	q1	q2	…	qk	…	qn
Pk	1	P0 = q0	P1 =q0q1 + 1	P2=P1q2 + P0	…	Pk = Pk-1qk + Pk-2	…	Pn
Qk	0	Q0 = 1	Q1 = q1	Q2 = Q1q2 + Q0	…	Qk = Pk-1qk + Qk-2	…	Qn

Ikkita qo’shni munosib kaslar ayirmasini

formula yordamida topish mumkin.
kasrni munosib kasr bilan almashtirganda hosil bo’lgan xatoni

tengsizlik bilan baholanadi.
1-m i s o l. sonni shunday munosib kasr bilan almashtiringki, uning xatosi 0, 001 dan katta bo’lmasin.
Yechish. Sonni uzluksiz kasrga yoyamiz:
.
Demak kasrlarni topamiz:

k		0	1	2	3	4
qk		2	1	19	1	3
Pk	1	2	3	59	62	245
Qk	0	1	1	20	21	83

.
₂ shartni qanoatlantirmaydi.
ni keltiramiz: . Demak, masala yechimi . 
2-m i s o l. uzluksiz kasrga mos kasrni toping.
Yechish. Munosib kasrlarni topamiz:

k		0	1	2	3	4	5
qk		2	1	1	3	1	2
Pk	1	2	3	5	18	23	64
Qk	0	1	1	2	7	9	25

Bu jadvaldan .
Bu masalani yechimini quyidagicha topish mumkin:

Bu usuldan zanjirdagi sonlar miqdori oz bo’lganda foydalanish mumkin. 
3-m i s o l. kasrni kasrga yoyish yordamida qisqartiring.
Yechish. Sonni uzluksiz kasrga yoyamiz:
Demak, . 
4-m i s o l. a va b – o’zaro tub musbat sonlar. ni uzluksiz kasrga yoygandagi oxiridan ikkinchi munosib kasr bo’lsin. ax + by = 1 Diofant tenglamasini xususiy yechimi

ko’rinishda bo’lishini isbotlang.
Yechish. ni uzluksiz kasr ko’rinishda tasvirlaymiz:

Ikkita munosib kasrlar orasidagi formuladan
, lekin , shuning uchun , bundan , yoki .
Bu tenglikni ax₀ + by₀ = 1 tenglik bilan solishtirsak
ni hosil qilamiz. 
5-m i s o l. ax + by = c diofant tenglamasi yechimlarini toping.
Yechish. 4-misoldan

kelib chiqadi.
Agar tenglamada b koeffisiyentning ishorasi manfiy bo’lsa, u holda y₀ formulasida (-1)^n-1 ni olish kerak. Bu x₀ va y₀ qiymatlarini x = x₀–bt , y = y₀+at ga qo’yib berilgan tenglamani umumiy yechimini hosil qilamiz: ax + by = c. 
6-m i s o l. Uzluksiz kasrlar yordamida 38x + 117y = 209 tenglama umumiy yechimini toping.
Yechish. ni uzlksiz kasrga yoyamiz: .

k			0	1	2	3	4
Qk			0	3	12	1	2
Pk	0	1	0	1	12	13	38
Qk	1	0	1	3	37	40	117

kasrlarni topamiz.
Bundan: P_n-1 = 13, Q_n-1 = 40, n = 4.
5-misoldagi formulalardan

ni topamiz. Demak, tenglamani umumiy yechimi:
x = –8360 – 117 t,
y = 2717 + 38 t.
Tekshirish: 38 (- 8360) + 117  2717 = - 317680 + + 317889 = 209. 
7-m i s o l. Uzluksiz kasrlar yordamida 119 x – 68 y = 34 tenglamani umumiy yechimimni toping.
Yechish. ni uzluksiz kasrga yoyamiz: Munosib kasrlarni topamiz:

k			0	1	2
qk			1	1	3
Pk	0	1	1	2	7
Qk	1	0	1	1	4

Bundan: P_n-1 = 2, Q_n-1 = 1, n = 2 ni aniqlaymiz.
(119, 68) = 17 va c = 34 son 17 ga bo’linadi. Berilgan tenglamani 17 ga bo’lib, 7x – 4y = 2 ni hosil qilamiz.
Tenglamaning xususiy yechimi:
x₀ = (-1)¹  1  2 = -2, y₀ = (-1)¹  2  2 = - 4.
Umumiy yechim esa: .
Tekshirish: 7 (-2) – 4 (-4) = - 14 + 16 = 2. 

M A S H Q L A R

55. Kasrlarni uzluksiz kasrlarga yoying:

56. Kasrlarni uzluksiz kasrlarga yoying:

57. Uzluksiz kasrlarga yoyilmasidan foydalanib kasrlarni qiqartiring:

58. Berilgan kasrni uzluksiz kasrga yoying va uni kasr bilan almashtiring. Almashtirish xatosini toping va xatosi ko’rsatilgan holda taqribiy almashtirishga mos tengligini yozing:
.
59. Ko’rsatilgan chekli uzluksiz kasrlarga mos oddiy qisqarmaydigan kasrlarni toping:

60. Tenglamani yeching:
.
61. Diofant tenglamalarini yeching:
a) 41x + 114y = 5; b) 19x – 15y = 1;
c) 23x – 17y = 11; d) 53x – 47y = 11;
e) 35x – 18y = 3; f) 85x – 71y = 5;
g) 41x – 11y = 7.