Chеkli va chеksiz to‘plamlar chekli to‘plamlar. Cheksiz to‘plamlar

2.4. Sanoqsiz to‘plamlar. Har qanday cheksiz to‘plam sanoqli bo‘lavermaydi.
9-TA’RIF: Sanoqli bo‘lmagan cheksiz to‘plam sanoqsiz to‘plam dеb aytiladi. Ushbu teorema sanoqsiz to‘plamlar mavjudligini ko‘rsatadi.
4-TЕORЕMA: [0,1] kesmaga tegishli barcha nuqtalar (haqiqiy sonlar) to‘plami sanoqsizdir.
Teoremani isbotsiz qabul etamiz.
10-TA’RIF: [0,1] kesma va unga ekvivalent barcha to‘plamlar kontinuum quvvatli deyiladi.
Ixtiyoriy а, b (bа) haqiqiy sonlar uchun [а, b] [0,1], ya’ni ixtiyoriy kesmadagi nuqtalar (haqiqiy sonlar) kontinuum quvvatli sanoqsiz to‘plam bo‘ladi. Bunga у=а+(b–а)х (у[а,b], х[0,1]) o‘zaro bir qiymatli akslantirish orqali ishonch hosil qilish mumkin.
Natija: Ixtiyoriy ikkita [a,b] ва [c,d] kesmalar ekvivalent, ya’ni [a,b]  [c,d] bo‘ladi.
Haqiqatan ham, yuqorida ko‘rsatilganga asosan, [a,b] [0,1] va [c,d] [0,1]. Bu yerdan, 1-teoremaga asosan, [a,b]  [c,d] ekanligi kelib chiqadi. Xuddi shunday tarzda ixtiyoriy chekli yoki cheksiz oralik (a,b) [0,1], ya’ni kontinuum quvvatli sanoqsiz to‘plam bo‘lishini isbotlash mumkin. Jumladan, barcha haqiqiy sonlar to‘plami R=(– ∞ , ∞) kontinuum quvvatli sanoqsiz to‘plam bo‘ladi. Har qanday chekli to‘plamning quvvati sanoqli to‘plam quvvatidan kichik, o‘z navbatida sanoqli to‘plam quvvati kontinuum quvvatidan kichikdir. Unda quvvati kontinuumdan katta to‘plamni mavjud yoki mavjud emasligini aniqlash masalasi paydo bo‘ladi. Bu masala o‘z yechimini quyidagi teorema orqali topadi.
5-TЕORЕMA: А to‘plam quvvati m(A) bo‘lsin. U holda A to‘plamning barcha qism to‘plamlaridan iborat B to‘plam quvvati m(В)>m(А) bo‘ladi.
Bu teoremadan quvvati eng katta bo‘lgan cheksiz to‘plam mavjud emasligi kelib chiqadi. Jumladan, quvvati kontinuumdan katta bo‘lgan sanoqsiz to‘plamlar mavjud.Agar A va B cheksiz to‘plamlar quvvati m(A) va m(B) bo‘lsa, bu yerda yoki m(A)=m(B) yoki m(A)m(B) munosabatlardan biri o‘rinli bo‘ladi. Bunda m(A)=m(B) tеnglik АВ ekanligini bildiradi. m(A)>m(B) yozuv A to‘plamning biror qismi B to‘plamga ekvivalent, ammo B to‘plamda A to‘plamga ekvivalent qism yo‘qligini bildiradi.
XULOSA
To‘plamlar ularga tegishli elementlarga qarab chekli va cheksiz to‘plamlarga ajratiladi. Chekli to‘plamlar quvvati ularga tegishli elementlar soni orqali o‘zaro taqqoslanadi. Cheksiz to‘plamlarni taqqoslash uchun ularning ekvivalentligi tushunchasi kiritiladi. Ekvivalent to‘plamlar teng quvvatli hisoblanadi. Natural sonlar to‘plamiga ekvivalent to‘plamlar sanoqli deb ataladi. [0,1] kesmadagi nuqtalar to‘plami sanoqli emas va bunday to‘plamlar sanoqsiz deyiladi. [0,1] kesmaga ekvivalent to‘plamlar kontinium quvvatli deb olinadi. Chekli to‘plamlar uchun ham, cheksiz to‘plamlar uchun ham quvvati eng katta bo‘lgan to‘plam mavjud emas.