Cheksiz chuqurlikka EGA bo’lgan bir o’lchovli potenstial o’ra

3) Chekli chuqurlikka ega bo’lgan bir o’lchovli potenstial o’ra.
Chekli chuqurlikka ega bo’lgan bir o’lchovli potenstial o’ra 15.6-rasmda tasvirlangan.
da potenstial energiya cheksizga intiladi. Shuning uchun zarra sohaga kirolmaydi. Oqibatda to’lqin funkstiya bu sohada nolga teng bo’ladi. da potenstial energiya chekli qiymatga ega va to’lqin funkstiyani I va II sohalarda bo’lishi ehtimoli mavjud. Potenstialga qo’yilgan chegaraviy shart quyidagilardan iborat:
(15.22)
Shryodinger tenglamasini I sohaga yozamiz:
, (15.23)
bunda ; II soha uchun
. (15.24)
holni ko’raylik. II soha uchun Shryodinger tenglamasi
(15.25)
ko’rinishda bo’ladi (bunda ).
I soha uchun Shryodinger tenglamasi (15.24) ko’rinishda qoladi.
Turli sistemalar uchun bu tenglamaning echimini quyidagicha izlaymiz.
I soha uchun:
(15.26)

To’lqin funkstiyaga qo’yilgan shartlarga binoan va demak, . Uzluksizlik shartiga ko’ra funkstiya va uning hosilasi uchun

(15.27)
ifodani yozsa bo’ladi. U holda A₂ va V₂ lar quyidagicha topiladi:
. (15.28)
Bu shartlar doimo o’rinli bo’ladi. Shuning uchun da energiya spektri uzluksiz, o’zining harakati davomida zarra fazoning chekli sohasida lokallashmagan, ya’ni harakat infinitiv bo’ladi.
Endi holni ko’ramiz. Bu holda II soha uchun Shryodinger tenglamasi quyidagicha yoziladi:
(15.29)
ko’rinishda bo’ladi (bunda ).
I soha uchun Shryodinger tenglamasi (15.24) ko’rinishda qoladi.
Tenglamaning echimi I va II sohalar uchun quyidagi ko’rinishga ega:
(15.30a)
(15.30b)
to’lqin funkstiya hamma erda chekli bo’lishi talab qilinadi. Biroq da cheksiz o’sadi.
Shuning uchun (15.30b) formuladagi bo’ladi.
Tikish sharti bu hol uchun quyidagicha yoziladi:
(15.31)
Bu sistemadagi ikkinchi tenglamani har bir har bir hadini birinchi tenglamaning har bir hadiga bo’lsak
(15.32)
tenglama hosil bo’ladi. Bu tenglamani grafik usulda echish qulay. Shuning uchun quyidagi almashtirishlarni bajaramiz:
.
Biroq



(15.33)
bo’lgani uchun (15.32) tenglamani qo’yidagi ko’rinishga keltirish mumkin:
(15.34)
bunda . Bu tenglamani grafik echimini 15.6-rasmda keltirilgan. (15.33) tenglamani echimi sifatida -to’g`ri chiziq bilan sinusning kesishgan nuqtalari olinadi. Lekin hammasi ham emas. Balki (15.33) tenglamani qanoatlantiradigan echimlar hisobga olinadi. Bu echimlar juft choraklarda olingan nuqtalar uchun o’rinli. ning chekli sondagi qiymatlariga energiyaning quyidagi qiymatlari to’g`ri keladi.
(15.35)
energiya to’g`ri keladi.
Shunday qilib, chekli chuqurlikka ega bo’lgan potenstial o’rada chekli sondagi energiyaning xususiy qiymatlari hosil bo’ladi. Agar U₀ – potenstial o’raning chuqurligi kichik bo’lsa, u holda birorta ham energiyaning xususiy qiymatlari bo’lmasligi mumkin. E₀ da (x>L sohada) to’lqin funkstiya ko’rinishga ega. Bundan chiqadiki, to’lqin funkstiyani x>L sohaga kirish ehtimoli mavjud. Bu effekt mikrozarraning potenstial to’siqdan o’tish hodisasi degan qiziq yangi masalaga etib keladi.