Cheksiz chuqurlikka EGA bo’lgan bir o’lchovli potenstial o’ra

MA’RUZA №12

MAVZU: Bir o’lchamli harakat. To’g’ri burchakli potentsial o’rada zarrachaning xarakati. Energiyaning xususiy qiymatlari. Cheksiz chuqur potentsial o’radagi zarrachaning xarakati.

Reja:

1. 
   Cheksiz chuqurlikka ega bo’lgan bir o’lchovli potenstial o’ra;
   
2. 
   Cheksiz chuqurlikka ega bo’lgan ikki o’lchovli potenstial o’ra;
   
3. 
   Chekli chuqurlikka ega bo’lgan bir o’lchovli potenstial o’ra.
   

ADABIYOTLAR

1. 
   Enriko Fermi. Kvantovaya mexanika (konspekt lekstiy). M., 1965.
   
2. 
   A.A.Sokolov, M.Yu.Ternov. Kvantovaya mexanika (konspekt lekstiy). M., 1962.
   
3. 
   D.I.Bloxinstev. Osnovы kvantovoy mexaniki. M., 1961.
   
4. 
   L.Shiff. Kvantovaya mexanika. M.: «Il», 1957.
   
5. 
   L.Landau, E.Lifshist. Kvantovaya mexanika. M., 1974.
   

1) Cheksiz chuqurlikka ega bo’lgan bir o’lchovli potenstial o’ra.
Shryodinger teglamasini bir-necha odiy masalalarni echishga qo’llaymiz. Bu xil oddiy masalalarni echishdan maqsad Shryodinger tenglamasining matematik apparatini egallashdir.
Cheksiz potenstial chuqurlikga ega bo’lgan potenstial o’rada yotgan mikrozarra uchun Shryodingerning bir o’lchovli stastionar teglamasini tadbiq etaylik. Bu masalani echishdan asosiy maqsad xususiy funkstiyalar va xususiy qiymatlarni topishdir.
1

15.1-rasm. Cheksiz potenstial ¢rada zarra.
5.1-rasmda ikki tomoni cheksiz baland potenstial devor bilan o’ralgan va X o’qida soha bilan chegaralangan potenstial o’ra tasvirlangan.
Zarraning potenstial energiyasi x o’qining oralig`ida nolga, va sohalarda cheksiz katta qiymatga ega.
Matematika nuqtai nazaridan qaraganda bir o’lchovli xarakat uchun bu masalada potenstial energiya qo’yidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantirishi kerak:


(15.1)


Potenstialning bunday chegaralanishi o’z navbatida, to’lqin funkstiyani ham qo’yidagi shartlarni bajarishga majbur qiladi


, agar bo’lsa
va
, . (15.2)
Zarra har bir vaqt momentida o’raning qaerda bo’lishini aniq bilmaymiz, shuning uchun Shryodingerning vaqtga bog`liq bo’lgan tenglamasini bu masalaga qo’llab bo’lmaydi, demak Shryodingerning stastionar teglamasini ishlatamiz.
(15.1) shartdagi ni e’tiborga olgan holda
(15.3)

ni yozamiz va

(15.4)
belgilash kiritib (15.3) ni qo’yidagicha yozamiz:
. (15.5)
(15.5) tenglama mikrozarraning o’ra ichidagi holatini xarakterlaydi va bu tenglamaning echimi umumiy holda
(15.6)
ko’rinishga ega. Bu echim o’ra ichida x o’qi buylab bir-biriga qarama-qarshi yo’nalishda xarakatlanayotgan to’lqinlarning superpozistiyasini tasvirlaydi. O’raning devorlari mutlaq qattiq deb hisoblanganligi sababli o’ra ichida turg`un to’lqinlar hosil bo’ladi.
Zarraning to’la energiyasi dan kichik bo’lganligi sababli u potenstial o’radan tashqariga chiqib keta olmaydi. Shuning uchun potenstial o’ra chekkasiga etgan zarra potenstial o’ra devoridan qaytadi, so’ngra, teskari yo’nalishda harakatlanadi, o’raning ikkinchi devoriga o’rilib yana orqaga qaytadi va h.k. Natijada qarama-qarshi zarralarning qo’shiluvi tufayli (15.6) ko’rinishdagi to’rg`un to’lqin hosil bo’ladi.
Matematika nuqtai nazaridan (15.6) funkstiyani (15.5) Shryodinger tenglamasini haqiqatan echimi ekanligini tekshirish foydalidir.
(15.6) tenglamadagi A va V doimiyliklarni aniqlash uchun (15.2) chegaraviy shartdan foydalanamiz. x=0 hol uchun va (15.6) tenglama,

ko’rinishga keladi, bundan A=-V.
Demak,
(15.7)