Чизиқли тенгламалар системаси ва унинг ечими ҳақида тушунча. Чизиқли тенгламалар системасини Крамер усулидан фойдаланиб ечиш Режа

5-МАВЗУ 

Чизиқли тенгламалар системаси ва унинг ечими  ҳақида тушунча. 

Чизиқли тенгламалар системасини Крамер усулидан фойдаланиб ечиш 

 

Режа: 

 

  

5.1. Чизиқли тенгламалар системасининг умумий кўриниши  ва 

унинг ечими. 

 

5.2. Чизиқли тенгламалар системасининг ечими ҳақида теорема. 

 

5.3. Чизиқли тенгламалар системасини ечишнинг Крамер  усули. 

 

 5.1. Чизиқли тенгламалар системасининг умумий кўриниши  ва унинг 

ечими  

n

 та номаълум 

m

 та тенгламадан иборат чизиқли тенгламалар системаси деб 

қуйидаги системага айтилади.  





























































































m

n

mn

i

mj

m

m

i

n

in

j

ij

i

i

n

n

j

n

in

j

j

b

x

a

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

x

a

















2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

(1) 

бу ерда 

)

,

1

;

,

1

(

,

n

j

m

i

b

a

i

ij





- берилган сонлар бўлиб, 



ij

a

номаълумлар 

олдидаги коеффицентлар, 



i

b

озод  ҳадлар дейилади. 

1-Таъриф. (1) тенгламалар системасидаги номаълум 

n

x

x

x

,....,

,

2

1

  ларнинг 

ўрнига мос равишда 

n

c

c

c

,...,

,

2

1

 сонларни қуйиш натижасида ушбу  

                

































m

n

mn

m

m

n

n

n

n

b

c

a

c

a

c

a

b

c

a

c

a

c

a

b

c

a

c

a

c

a

...

..

..........

..........

..........

..........

...

...

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

 

айниятлар системаси ҳосил бўлса  номаълумларнинг бундай қийматлари (1) 

тенгламалар системасининг ечими дейилади. 

2-Таъриф. Агарда (1) тенгламалар системаси ечимга эга бўлса, у биргаликда 

дейилади, акс ҳолда биргаликда эмас дейилади. 

3-Таъриф. Биргаликда бўлган тенгламалар системаси ягона (чексиз кўп) 

ечимга эга бўлса, у аниқ (ноаниқ) дейилади. Бизга (1) тенгламалар 

системасидан ташқари, қуйидаги 

      







































/

/

2

/

2

1

/

1

/

2

/

2

2

/

22

1

/

21

/

1

/

1

2

/

12

1

/

11

....

.......

..........

..........

..........

..........

....

....

m

n

mn

m

m

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

       (2)                 

тенгламалар системаси ҳам берилган бўлсин. 

4-Таъриф. (1) ва (2) тенгламалар системаси тенг кучли (эквивалент) 

дейилади, агарда уларнинг ечимлар тўплами устма-уст тушса. 

 

 

4.2. Чизиқли тенгламалар системасининг ечими ҳақида теорема 

 

 

Одатда тенгламалар системасини ечмасдан туриб ҳам унинг ечими 

мавжудми ёки  йўқми  эканлигини аниқлашимиз мумкин бўлади. Бунинг 

учун берилган тенгламалар системасининг асосий ва кенгайтирилган 

матрицаларининг рангларини аниқлаш зарур. 

Теорема (Кронекер-Капелли). Агар система матрицаси ранги 

кенгайтирилган матрица рангига тенг бўлса, яъни 

)

(

)

(

A

r

A

r



 у ҳолда 

система биргаликда бўлади, яъни ечимга эга бўлади. 

 

Бундан  ушбу ҳулосалар ўринлидир: 

Агар 

)

(

)

(

A

r

A

r



 бўлса, система биргаликда бўлади (ечим мавжуд). 

Агар 

)

(

)

(

A

r

A

r



 бўлса, система биргаликда бўлмайди (ечим йўқ). 

Агар 

n

A

r

A

r





)

(

)

(

  бўлса, система ягона ечимга эга бўлади. 

Агар 

n

A

r

A

r





)

(

)

(

  бўлса, система чексиз кўп ечимга эга бўлади. 

 

  Мисол. Берилган чизиқли тенгламалар системасининг биргаликда ёки 

биргаликда эмаслигини текширинг. 

 

          

























11

9

4

3

2

2

3

7

2

1

2

1

2

1

х

х

х

х

х

х

    

Ечиш.  Бу система учун  



















































11

9

4

3

2

1

2

3

7

,

9

4

2

1

3

7

В

А

 

2

1

3

7



= -17 ≠ 0 бўлгани учун, р = (А)      

0

11

9

4

3

2

1

2

3

7







  бўлишини 

эътиборга олсак, р (Б) = 2  ва номаълумлар сони 2 та булгани учун система 

ягона ечимга эга. 

 

5.3. Чизиқли тенгламалар системасини ечишнинг Крамер усули 

 

  Энди  (1)  чизиқли    тенгламалар  системасининг  матрицалар  кўринишини 

ёзамиз.  Бунинг  учун     

ij

a

, 

i

b

,  ва 

i

x

  лар  ёрдамида  қуйидаги    матрицаларни 

ҳосил қиламиз. 

,

,

,

2

1

2

1

2

1

2

22

21

1

12

11



































































































m

n

mn

m

m

n

n

b

b

b

B

x

x

x

X

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A











 

бу ерда 

A

- коэффициентлар  ёки система матрицаси, 

B

- устун матрица, озод 

ҳадлар матрицаси дейилади. У ҳолда (1) тенгламалар системасини қуйидаги  

кўринишда ёза оламиз: 

                                     

B

AX



 

  (1)  тенгламалар  системасида    тенгламалар  сони  номаълумлар  сонига  тенг, 

яъни 

n

m



, бўлсин. Бу ҳолда система матрицаси 

A

- квадрат матрица бўлади, 

унинг  детерминанти 





A

-  деб  белгиланиб,  система  детерминанти 

дейилади. 

j



-  детерминант  деб, 

A

-  матрицанинг 

j

-  устунини    озод  ҳадлар  

устуни    билан  алмаштиришдан  ҳосил  бўлган  матрица  детерминантини 

белгилаймиз.  

 

Агар 

0





  бўлса,  яъни 

A

-  ҳос  бўлмаган  матрица  бўлса,  у  ҳолда 

1



A

тескари  матрица  мавжуд  бўлади,  у  ҳолда  (2)  тенгликдан  қуйидагиларни 

ҳосил қиламиз. 

B

A

X

B

A

EX

B

A

X

A

A

B

A

AX

A

1

1

1

1

1

1

)

(

)

(



























  (3) 

 

бу ердан, матрицаларнинг кўпайтириш қоидасидан қуйидагилар келиб 

чиқади: 













































































































m

nn

n

n

n

j

j

n

nn

n

b

b

b

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

x

x

x

.

.

1

2

1

2

1

2

2

1

2

22

12

21

11

2

1











(3) 

оҳирги  тенгликдан 

n

j

j

A

b

A

b

A

b

x

nj

n

j

j

j

,

1

,

)

(

1

2

2

1

1





















  эканлиги  келиб 

чиқади. Демак қуйидаги теорема ўринли экан.  

 

Теорема (Крамер). Агар система детерминанти 

0





 бўлса, у ҳолда (1) 

система  ягона  ечимга  эга  бўлиб,  бу  ечим  қуйидаги  формулалар  орқали 

топилади. 

n

j

x

j

j

,

1

,









     (4) 

 

Теоремадаги  (4)-  формула  Крамер  формулалари  деб  номланади.  (1)  

тенгламалар  системасини (3) – (4)- формулалар орқали ечилиши  эса Крамер 

ёки детерминантлар усули дейилади. 

 

Хулоса  шундан  иборатки,  берилган 

тенгламалар  системасида  номаълумлар  сони  тенгламалар  сонига  тенг 

бўлганда  уларни  ечиш  учун    Крамер  қоидасидан  фойдаланиш  мумкин 

бўлади.  

 

Агар  







































n

n

nn

n

n

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

...

..

..........

..........

..........

..........

...

...

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

     (1) 

чизиқли тенгламалар системасининг ушбу  

nn

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

...

...

...

...

...

...

...

2

1

2

22

21

1

12

11





 

асосий детерминанти нолдан фарқли бўлса, унинг ечими     







j

j

x

 

формула бўйича топилади.   Бунда   

j



  

)

,

1

(

n

j



- асосий детерминантдаги 

j

    устунни  озод  ҳадлар  устуни  билан  алмаштиришдан  ҳосил  бўлган 

детерминант.  







j

j

x

  , 

)

,

1

(

n

j



  га 

nxn

  ўлчамли  чизиқли  тенгламалар  системасини 

ечишнинг Крамер формулалари дейилади. Бунда 

 

1) агар 

0





 бўлса, (1) система биргина ечимга эга; 

 

2)  агар 

0





  бўлиб,  барча   

0





j

,

)

,

1

(

n

j



  бўлса  (1)  система 

ечимга эга эмас. 

 

3) агар 

0





  бўлиб,  барча 

0





j

,

)

,

1

(

n

j



  бўлса,  система  чексиз 

кўп  ечимга эга бўлади. 

 

Мисол. Системани ечинг :

















1

3

2

6

4

y

x

y

x

    

 

Ечиш. Система биргаликда   





























1

3

2

6

1

4

2

3

2

1

4

r

r

 

 

Асосий ва ёрдамчи детерминантларни ҳисоблаймиз 

0

3

2

1

4



, демак ечим ягона.  У ҳолда   







j

j

x

 формулага кўра: 

 

9

,

1

10

19

3

2

1

4

3

1

1

6









x

  ва  

6

,

1

10

16

3

2

1

4

1

2

6

4













y

 

 

Жавоб: (1,9: -1,6) 

 

Хулоса. 

Чизиқли  тенгламалар  системаси  фаннинг  жуда  кўп  тармоқларида 

қулланилади.  Чизиқли  тенгламалар  ечишни  куп  усуллари  бор,  лекин 

системадаги асосий матрица квадрат матрица булган баъзи ҳолларда Крамер 

усули  универсал  усул  ҳисобланади,  чунки  детерминантлар  орқали  асосий 

ҳисоблашлар  бажарилиб,  тенгламалар  системаси  учун  унинг  ечими  ҳақида 

ижобий жавоб олиш мумкин. 

 

Мавзу юзасидан саволлар 

 

1. Чизиқли тенгламалар системаси деб қандай системага айтилади? 

2. Чизиқли тенгламалар системасини ечишнинг  Крамер усули. 

3. Кронекер – Копелли теоремаси.  

4. Қандай ҳолларда тенгламалар системаси ечимга эга бўлмайди? 

5. Қайси ҳолларда ягона ечим қайси ҳолларда чексиз кўп ечим бўлади?