Чизиқли тенгламалар системаси Чизиšли тенгламалар системаси ва унинг ечими ќаšида

Чизиқли тенгламалар системаси


1.Чизиšли тенгламалар системаси ва унинг ечими ќаšида
тушунча.
2.Чизикли тенгламалар системасини Крамер ва тескари матрицалар усулларда ечиш.
3.Асосий ва ёрдамчи детерминантлар.
4.Умумий кœринишдаги тенгламалар системаси.
5.Асосий ва кенгайтирилган матрицалар.
6.Кронекер-Капелли теоремаси.
7.Бир жинсли чизиšли тенгламалар системаси.
8.Чизикли тенгламалар системасининг умумий ечими.
9.Кœп тармоšли иктисодиёт модели.(Баланс модели)


Чизиšли тенгламалар системасининг умумий кœриниши ва унинг ечими.


та номаълум ва та тенгламадан иборат чизиšли тенгламалар системаси деб šуйидаги системага айтилади.
(1)
бу ерда - берилган сонлар бœлиб, номаълумлар олдидаги коэффицентлар, озод ќадлар дейилади.
1-Таъриф. (1) тенгламалар системасидаги номаълум ларнинг œрнига мос равишда сонларни šœйиш натижасида ушбу

айниятлар системаси ќосил бœлса, номаълумларнинг бундай šийматлари (1) тенгламалар системасининг ечими дейилади.
2-Таъриф. Агарда (1) тенгламалар системаси ечимга эга бœлса, у биргаликда дейилади, акс ќолда биргаликда эмас дейилади.
3-Таъриф. Биргаликда бœлган тенгламалар системаси ягона (чексиз кœп) ечимга эга бœлса, у аниš (ноаниš) дейилади.
Бизга (1) тенгламалар системасидан ташšари, šуйидаги
(2)
тенгламалар системаси ќам берилган бœлсин.
4-Таъриф. (1) ва (2) тенгламалар системаси тенг кучли (эквивалент) дейилади, агарда уларнинг ечимлар тœплами устма-уст тушса.
Энди (1) чизиšли тенгламалар системасининг матрица кœринишини ёзамиз. Бунинг учун , , ва лар ёрдамида šуйидаги матрицаларни ќосил šиламиз.

бу ерда - коэффицентлар (1) ёки система матрицаси, В- устун- матрица, озод ќадлар матрицаси дейилади. У ќолда (1) тенгламалар системасини šуйидаги кœринишда ёза оламиз:

(1) тенгламалар системасида тенгламалар сони номаълумлар сонига тенг, яъни , бœлсин. Бу ќолда система матрицаси - квадрат матрица бœлади.Унинг детерминанти - деб белгиланиб,система детерминанти дейилади. - билан - матрицанинг - устунини озод ќадлар устуни билан алмаштиришдан ќосил бœлган матрица детерминантини белгилаймиз.
Агар бœлса, яъни - хос бœлмаган матрица бœлса, у ќолда тескари матрица мавжуд бœлади, у ќолда (2) тенгликдан šуйидагиларни ќосил šиламиз:
(3)
бу ердан, матрицаларнинг кœпайтириш šоидаси ва II-бобдаги (6)-тенгликдан šуйидаги тенгликни ќосил šиламиз:

Охирги тенгликдан эканлиги келиб чиšади. Демак, šуйидаги теорема œринли экан.
Теорема (Крамер). Агар система детерминанти бœлса, у ќолда (1) система ягона ечимга эга бœлиб, бу ечим šуйидаги формулалар орšали топилади.
(4)
Теоремадаги (4)- формула Крамер формулалари деб номланади. (1) тенгламалар системасини (3) – (4)- формулалар орšали ечилиши эса Крамер ёки детерминантлар усули дейилади. Шуни таъкидлаш керакки, бу усулларни тенгламалар сони номаълумлар сонига тенг бœлган ќолдагина šœллаш мумкин. Энди умумий ќолда šœлланиладиган усул- Гаусс усулини баён šиламиз. Гаусс усули номаълумларни кетма-кет йœšотиш усули ќам деб номланади.
Чизиšли тенгламалар системаси устида бажариладиган элементар алмаштириш деб šуйидагиларга айтилади:(1)
Системадаги бирон-бир тенгламани нолдан фарšли сонга кœпайтириш, тенгламалар œрнини алмаштириш ва (3) бирон-бир тенгламани сонга кœпайтириб, бошšа бир тенгламага šœшиш. Мана шу алмаштиришлар натижасида ќосил бœлган янги тенгламалар системаси аввалгисига эквивалент, яъни ечимлар тœплами иккала система учун бир хил бœлади.
(1) система матрицаси ва озод ќадлар устуни ёрдамида кенгайтирилган матрица ќосил šиламиз,

Юšоридаги таъкидланган алмаштиришлар натижасида, бу матрица šуйидаги кœринишлардан бирига келиши мумкин,
а) бу ќолда, ечим ягона.

бу ќолда, ечим ягона.
в)
бу ќолда система чексиз кœп ечимга эга бœлади.
г)

бу ерда сонлардан биронтаси нолдан фарšли, бу ќолда
, яъни система ечимга эга эмас.
Бу ерда - лар нинг šандайдир œрин алмаштиришидан иборат бœлади. Демак, šуйидаги теорема œринли эканлиги келиб чиšар экан.