Чизиқли тенгламалар системаси Чизиšли тенгламалар системаси ва унинг ечими ќаšида

Теорема (Кронекер-Капелли). Агар система матрицаси ранги кенгайтирилган матрица рангига тенг бœлса, яъни бœлса , у ќолда система биргаликда бœлади, яъни ечимга эга бœлади.
Демак, биз šуйидаги ќулосаларни šилишимиз мумкин экан.

1. 
   Агар бœлса, система биргаликда бœлади.
   
2. 
   Агар бœлса, система биргаликда бœлмайди.
   
3. 
   Агар бœлса, система ягона ечимга эга бœлади.
   
4. 
   Агар бœлса, система чексиз кœп ечимга эга бœлади.
   

Бир жинсли чизиšли тенгламалар системаси
Агар чизиšли тенгламалар системаси (1) да озод ќадлар нолга тенг бœлса, яъни бœлса, ќосил бœлган тенгламалар системаси бир жинсли тенгламалар системаси дейилади, яъни
(5)
Бу система кенгайтирилган матрицанинг охирги устуни элементлари нолга тенг бœлгани учун система матрицаси ва кенгайтирилган матрицалар ранги тенг бœлади, яъни бœлади. Шунинг учун Кронекер-Коспелли теоремасига кœра бир жинсли тенгламалар системаси ќар доим биргаликда бœлади. Масалан, (0, 0, …, 0)=0 системанинг ечими (нол ечим) бœлади.
(5)- тенгламалар системасини матрица кœриниши šуйидагидан иборат бœлади.
(6)
Юšорида келтирилган 1-4 хулосаларга кœра, агар бœлса (5)- система ягона, нол ечимга эга бœлади, агарда бœлса (5)-система чексиз кœп ечимга эга бœлади. Демак бœлган ќолда (5)- система нолдан фарšли ечимга эга бœлиши учун унинг детерминанти нолга тенг бœлишлиги зарур ва етарли бœлар экан.
Агар (5)- системада бœлса, яъни тенгламалар сони номаълумлар сонидан кичик бœлса, (5)-система албатта нолдан фарšли ечимларга эга бœлади, чунки бу ќолда ва демак бœлади.
Шуни таъкидлаш керакки, агар
ва векторлар (6)- система ечими бœлса, у ќолда исталган ва сонлари учун, -вектор ќам (6)-система ечими бœлади, ќаšиšатдан ќам,
. (7)
Бу тенгликлар, матрицаларни šœшиш, сонга кœпайтириш ва кœпайтириш таърифидан келиб чиšади.
(7)- тенгликдан шуни хулоса šилиш мумкинки, (6)- система ечимларининг чизиšли комбинацияси ќам (6)-системанинг ечими бœлар экан.
Таъриф. (6)-системанинг - чизиšли эркли ечимлар системаси фундаментал ечимлар системаси дейилади, агарда (6)-системанинг исталган ечими уларнинг чизиšли комбинациясидан иборат бœлса, яъни шундай сонлари мавжуд бœлсаки,

Таърифда кœринишда бœлгани учун, бœлади.
Теорема. Агар (6)- система учун бœлса, у ќолда исталган фундаментал ечимлар системаси та ечимдан иборат бœлади.
Исботи. бœлсин, у ќолда (6)- системанинг кенгайтирилган матрицаси элементар алмаштиришлар натижасида šуйидаги кœринишга келади,

бу ерда бœлиб . Агар биз тенглама кœринишида ёзсак šуйидагини ќосил šиламиз.

бу ердан охирги тенгламадан ни лар орšали ифодалаб, ундан олдинги тенгламадаги нинг œрнига šœйсак, нинг лар чизиšли комбинация эканлиги келиб чиšади. Шу тариšа юšорига кœтарилиб, натижада šуйидагиларни ќосил šиламиз.

Бу ерда , лар эркли œзгарувчилар деб аталади. Уларнинг сони га тенг бœлади. Бу œзгарувчилардан бирини 1 га, šолганларини 0 га тенг šилиб олиб, šуйидаги та чизиšли эркли бœлган ечимлар системасини ќосил šиламиз.

Шуни таъкидлаш лозимки, бир жинсли бœлмаган номаълумли та чизиšли тенгламалар системаси нинг умумий ечими, унга мос келувчи бир жинсли тенгламалар системасининг умумий ечими ва тенгламанинг бирон-бир хусусий ечими йиђиндисига тенг бœлади.