Чизиқли тенгламалар системаси Чизиšли тенгламалар системаси ва унинг ечими ќаšида

Кœп тармоšли иšтисод модели (Баланс модели)
Баланс моделининг асосий масаласи, макроиšтисодиётни ташкил этадиган кœп тармоšли иšтисодиёт фаолиятини маšсадга муофиš тарзда самарали олиб боришдан иборат бœлиб, бу масала šуйидагича šœйилади: та тармоšдан иборат ќœжаликнинг ќар бир ишлаб чиšарган маќсулот миšдори šандай бœлса эќтиёж тœла šондирилади. Бу ерда шуни эътиборга олиш керакки та тармоšнинг ќар бири ишлаб чиšарган маќсулотнинг бир šисми шу тармоš эќтиёжи учун, бир šисми бошšа тармоšлар эќтиёжи учун ва яна бир šисми ишлаб чиšариш билан бођлиš бœлмаган эќтиёжлар учун сарф этилади.
Ишлаб чиšаришнинг маълум бир даврдаги, айтайлик бир йиллик, фаолиятини šарайлик. деб - тармоšларнинг шу давр давомида ишлаб чиšарган ялпи маќсулот ќажмининг пул бирлигида ифодаланган šиймати бœлсин, бу ерда . деб тармоš маќсулотининг тармоš эќтиёжи учун сарф этилган ќажмининг пул миšдорини белгилаймиз. деб тармоš маќсулотининг ноишлаб чиšариш эќтиёжи ќажмининг пул миšдорини белгилаймиз. Табиийки, - тармоš ишлаб чиšарган ялпи маќсулот ќажми та тармоš эќтиёжлари ва ноишлаб чиšариш эќтиёжлари учун сарф этилган маќсулотлар ќажмларининг пул миšдорлари йиђиндисига тенг бœлиши керак, яъни
(1)

1. 
   тенгламалар баланс муносабатлари деб номланади.
   

Агар белгилаш киритсак, тармоšнинг маќсулот ќажми бирлиги учун сарф этилган -тармоš маќсулот ќажми šийматини билдиради. -бевосита харажатлар коэффиценти деб номланади. -коэффицентларни šаралаётган даврдаги ишлаб чиšариш жараёнида šœлланилаётган технология аниšлайди. Šанчалик янги самарадор технология šœлланилса, шунчалик -коэффицентлар кичик, сарф харажатлар шунчалик кам бœлиб, самарадорлик юšори бœлади. Šаралаётган давр ичида коэффицентларни œзгармас деб šараймиз, яъни сарф харажатларни ялпи харажатларга чизиšли бођлиš деб šараймиз.

Шу муносабат билан кœрилган кœп тармоšли иšтисодиёт модели чизиšли баланс модели деб ќам номланади. (1) тенглама šуйидаги кœринишга келади.
(1')
Энди šуйидаги белгилашларни киритайлик,

бу ерда - технологик матрица, -ялпи маќсулот вектори, - якуний маќсулот вектори деб номланади. Бу белгилашларга асосан (1') тенгликнинг šуйидаги матрица кœринишини ќосил šиламиз.
(2)
Кœп тармоšли баланснинг асосий масаласи берилган якуний маќсулот вектори ва бевосита харажатлар матрицаси - га кœра -ялпи маќсулот векторини топишдан иборат бœлади, яъни (2) тенгламани номаълум вектор га нисбат ечиш керак. Бунинг учун уни šуйидаги кœринишга олиб келамиз .
Агар det бœлса, у ќолда тескари матрица мавжуд бœлиб, ечим šуйидаги кœринишда бœлади.
(3)
-матрица бевосита харажатлар матрицаси деб номланади. Бу матрицанинг иšтисодий маъносини тушиниш учун -œрнида 1, šолган жойларда 0 бœлган якуний маќсулот бирлик векторларини šараймиз. Уларга мос келувчи (3) тенглама ечимлари šуйидагига тенг бœлади.

Демак, матрицанинг -элементи -тармоšнинг -тармок бирлик якуний маќсулоти ни ишлаб чиšариш учун сарф šилиниши зарур бœлган маќсулот миšдори šийматини билдиради.
Šаралаётган масаланинг иšтисодий маъносига кœра, (3) тенгламада бœлиб, тенглама ечими учун бœлиши керак. Бу ќолатни биз ва деб белгилаймиз.
матрица самарали матрица дейилади, агар исталган вектор учун тенгсизликни šаноатлантирувчи (3) нинг ечими мавжуд бœлса. Бу ќолда Леонтев модели ќам самарали модел дейилади.
-матрицанинг самарали бœлиши учун, бир нечта критериялар мавжуд. Улардан бири шундан иборатки, агар -матрицанинг ќар бир устун элементлари йиђиндиси 1 дан катта бœлмай, ќеч бœлмаганда бирон–бир устун элементлари йигиндиси 1 дан кичик бœлса, -самарали матрица бœлади, яъни: , бœлиб, шундай мавжудки, унинг учун œринли бœлса, -самарали матрица бœлади.
Хулоса.
Чизиšли тенгламалар системаси иšтисоднинг жуда кœп тармоšларида šœлланилади. Чизиšли тенгламалар системасини ечишнинг кœп усуллари мавжуд, лекин Гаусс усули универсал усул ќисобланади, чунки кенгайтирилган матрица сатрлари устида элементар алмаштиришлар бажариб, исталган тенглама учун, унинг ечими ќаšида аниš жавобни олиш мумкин.

Таянч иборалар.

Чизиšли тенгламалар системаси, Чизиšли тенгламалар системасининг ечими, Крамер усули, Гаусс усули, бир жинсли тенглама, кенгайтирилган матрица, Кронеккер- Копелли теоремаси.