Chiziqli algebra fanidan nazariy savollar Mаtritsа tа’rifi asosiy tushunchalari. Mаtritsаlаrning o‘lchamlari. Teng matritsalar. Diagonal, skalyar va birlik matritsalar

Javoblar
1. Mаtritsа tа’rifi asosiy tushunchalari: Matritsa, bir yoki undan ko'p elementlarga ega bo'lgan to'plamdur. Har bir element o'z joyida satr va ustun indekslari orqali joylashadi.
Mаtritsаlаrning o‘lchamlari: Matritsaning o'lchami "m × n" formatidagi sonlar bilan ifodalanadi, m satrlardan (ustunlardan) va n ustunlardan (elementlardan) iborat.
Teng matritsalar: Teng matritsalar, barcha elementlari teng bo'lgan matritsalardir. Ya'ni, barcha satr va ustunlarida bir xil qiymatlar bo'lgan matritsalardir.
Diagonal matritsalar: Diagonal matritsalarda, bosh diagonal bo'ylab barcha elementlar 0 bo'lib, qolgan elementlar esa istalgan qiymatga teng bo'lgan matritsalardir.
Skalyar matritsalar: Skalyar matritsalarda, bosh diagonal bo'ylab barcha elementlar bir xil son, qolgan elementlar esa 0 bo'lgan matritsalardir.
Birlik matritsalar: Birlik matritsalarda, bosh diagonal bo'ylab barcha elementlar 1 bo'lib, qolgan elementlar esa 0 bo'lgan kvadrat matritsalardir.
2. Ustun va satr matritsalar, nol matritsa ta’riflarini yozing: Ustun matritsa: Ustun matritsa, faqat bir ta'zirli o'lchamli ustunlardan iborat bo'lgan matritsalardir. Ya'ni, m satr va 1 ustundan iborat matritsalardir.
Satr matritsa: Satr matritsa, faqat bir ta'zirli o'lchamli satrlardan iborat bo'lgan matritsalardir. Ya'ni, 1 satr va n ustunlardan iborat matritsalardir.
Nol matritsa: Nol matritsa, barcha elementlari 0 bo'lgan matritsalardir. Bu matritsaning o'lchami qaysi qismi bo'lsa ham, barcha elementlari 0 ga teng bo'ladi.
3. Mаtritsаlаrni sоngа ko‘pаytirish, mаtritsаlаrni qo‘shish va аyirish amallari ta’riflarini yozing: Matritsalarni sоngа ko‘paytirish: Ikki matritsa (A va B) berilgan bo'lsa, A va B ni bir-biriga ko'paytirish uchun matritsa elementlarini bir-biriga mos elementlarini ko'paytirish kerak. Natijada hosil bo'lgan matritsa, elementlarning ko'paytma natijasi bo'ladi.
Matritsalarni qo‘shish: Ikki matritsa (A va B) berilgan bo'lsa, A va B ni bir-biriga qo'shish uchun matritsa elementlarini bir-biriga mos elementlarini qo'shish kerak. Natijada hosil bo'lgan matritsa, elementlarning yig'indisi bo'ladi.
Matritsalarni аyirish: Ikki matritsa (A va B) berilgan bo'lsa, A dan B ni ayirish uchun matritsa elementlarini bir-biriga mos elementlarini ayirish kerak. Natijada hosil bo'lgan matritsa, elementlarning ayirma natijasi bo'ladi.
Matritsalarda chiziqli amallar (qo'shish, ayirish, ko'paytirish) uzluksiz amalga oshiriladi. Misol uchun, matritsalarni qo'shish va ayirish uchun ikki matritsa bir xil o'lchamli bo'lishi kerak, va ko'paytirish uchun bir matritsaning ustunlar soni ikkinchi matritsaning satrlar soniga teng bo'lishi kerak.
4. Mаtritsаni mаtritsаgа ko‘pаytirish аmаli va uning хоssаlаri. Zanjirlangan matritsa, kommutativ matritsalar ta’rifini keltiring: Matritsa ni matritsaga ko'paytirish amali: Matritsa (A) va matritsa (B) berilgan bo'lsa, A ni B ga ko'paytirish uchun matritsaning ustunlar soni B ning satrlar soniga teng bo'lishi kerak. Natijada hosil bo'lgan matritsa, elementlarning ko'paytma natijasi bo'ladi.
Matritsalarning zanjirlanganligi: Matritsalarning zanjirlanganligi A, B, va C matritsalari uchun quyidagi tenglikni ifodalaydi: (A * B) * C = A * (B * C), ya'ni matritsalarni zanjirlanganligi amalga oshirilgan tartibda hisoblanadi.
Kommutativ matritsalar: Agar A va B matritsalari berilgan bo'lsa, A * B = B * A bo'lishi shart bo'lgan matritsalarga kommutativ matritsalar deyiladi.
5. Mаtritsаlаrni transponirlash: Matritsa transponirlash, matritsaning satrlarini ustunlariga aylantirish jarayonidir. Transponirlangan matritsaning elementlari asl matritsaning elementlariga nisbatan aynan o'g'irlik to'lashadi.
Boshlang‘ich element: Transponirlangan matritsaning boshlang'ich elementi, asl matritsaning boshlang'ich elementining o'rniga keladi. Ya'ni, A matritsasi transponirlangan bo'lsa, A[1][1] elementi transponirlangan matritsaning boshlang'ich elementiga teng bo'ladi.
Pog‘onasimon matritsa: Pog'onasimon matritsa, matritsaning diagonalini o'z ichiga olgan matritsalardir. Ya'ni, barcha elementlari 0 bo'lgan matritsaning diagonalidagi elementlar asl matritsaning diagonalidagi elementlarga teng bo'ladi

6. Kvadrat matritsa: Matritsa, qator va ustunlar soni bir xil bo'lgan matritsadur. Kvadrat matritsaning hajmi, matritsaning qator va ustunlar soniga teng bo'ladi.

Yuqori uchburchak matritsa: Yuqori uchburchak matritsa, asosiy diagonal ostida joylashgan barcha elementlar 0 ga teng bo'lgan kvadrat matritsa hisoblanadi.
Quyi uchburchak matritsa: Quyi uchburchak matritsa, asosiy diagonal ostida joylashgan barcha elementlar 0 ga teng bo'lgan kvadrat matritsa hisoblanadi.
Simmetrik matritsa: Simmetrik matritsa, asosiy diagonal ostida joylashgan elementlar to'g'ri tartibda joylashgan kvadrat matritsa hisoblanadi. Simmetrik matritsaning har bir elementi (i, j) ning qiymati (j, i) elementi bilan teng bo'ladi.
Matritsalarni darajaga oshirish: Matritsa elementlarini darajaga oshirish uchun har bir elementning qiymatini istalgan darajada oshirish mumkin. Bunda matritsaning hajmi va matritsaning elementlari orasidagi tartib o'zgarishi mavjud bo'ladi.
7. Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar:
• Ikkinchi tartibli determinant: Kvadrat matritsani determinantini hisoblash uchun, matritsaning ustunlarini va qatorlarini ikki tartibda chizish va ulardan hosil bo'lgan yugurilarni ayirib tashlash kerak. Keyinchalik, yugurilardagi elementlarni ko'paytirish va ulardan hosil bo'lgan qiymatlarni yig'indisini olamiz. Bu ikkinchi tartibli determinant hisoblash usulidir.
• Uchinchi tartibli determinant (Sarryus usuli): Uchinchi tartibli determinant, kvadrat matritsani determinantini hisoblash uchun, matritsaning ustunlarini va qatorlarini uch tartibda chizib, ulardan hosil bo'lgan yugurilarni ko'paytirish va yig'indisini hisoblash kerak. Sarryus usuli, ikkinchi tartibdan foydalanib uchinchi tartibli determinanti hisoblash usulidir.
8. n-tartibli o'rin almashish: n-tartibli o'rin almashish, matritsaning qatorlarini va ustunlarini bir-biriga o'zgartirib berish jarayonidir. Bu jarayonning natijasida, matritsaning asosiy diagonalidagi elementlar o'zgarmaydi.
Inversiya: Matritsaning inversiyasi, shu matritsaga ko'paytma hisoblanib, natijada identitet matritsani hosil qilish imkoniyatini beradi. Inversiyani topish uchun matritsaning determinanti nolga teng bo'lishi kerak.
O'rinlashtirishning signaturasi: O'rinlashtirishning signaturasi, matritsaning o'rin almashish jarayonida o'zgaradigan elementlar sonini ifodalaydi. Signatura qanchalik o'zgarishi ta'riflash uchun kerak bo'lsa-da, matritsaning elementlarining alohida bir xususiyati emas, faqat o'rin almashish jarayonidagi o'zgarishlar sonini anglatadi.
9. n-tartibli determinanti:
• n-tartibli determinanti: Kvadrat matritsaning determinanti hisoblash uchun, matritsaning ustunlarini va qatorlarini n tartibda chizib, ulardan hosil bo'lgan yugurilarni ko'paytirish va yig'indisini hisoblash kerak. Bu formulalar asosan Laplas usulidan foydalanish bilan hisoblanadi.

10. Determinantning asosiy xossalari:

• Determinantning qiymati, matritsaning hajmidan, asosiy diagonalidagi elementlarning ko'paytmasidan va ulardagi qo'shiluvchilarining ko'paytmasidan asoslanadi.
• Agar determinant 0 ga teng bo'lsa, matritsa ning inversiyasi mavjud emas.
• Agar determinant musbat bo'lsa, matritsaning qatorlar va ustunlar o'rtasidagi bog'lanish aniqlanadi. Musbat determinant, matritsa inversiya bo'lishi mumkin bo'lgan ma'noga keladi.
• Agar determinant manfiy bo'lsa, matritsaning qatorlar va ustunlar orasidagi bog'lanish manfiydir. Manfiy determinantga ega matritsa inversiya bo'lishi mumkin emas.
• Determinantning qiymati, matritsaning o'rin almashishiga bog'liq emas, balki faqat matritsaning elementlarining qiymatlari bilan bog'liqdir

11. k-tartibli minor deb, bir matritsaning k yoki undan kichik bo'lgan bir nechta elementlari bilan hosil qilingan minorini ifodalaydi. K-tartibli minor, asosiy matritsadagi elementlardan bir nechta qator va ustunlar o'rtasidagi elementlardan tashkil topadi.

Algebraik to'ldiruvchi deb, bir matritsadagi elementlar orasidagi algebraik ifodalarni anglatadi. Bitta elementning algebraik to'ldiruvchi, ushbu elementning o'rnini aniqlash uchun qo'shilgan matritsadan hosil bo'lgan minorning, o'z belgisini o'ziga ko'paytirib, bo'lgan algebraik sonini ifodalaydi.
12. Matritsa rangi, bir matritsada to'g'ri qatorlarning soni bilan bir hil satrlarning sonining farqi sifatida ifodalaydi.
Kvadrat matritsada, rang matritsaning qator va ustunlar soniga teng bo'ladi. Yani, kvadrat matritsada n x n o'lchamli bo'ladi, va rangi n ga teng bo'ladi.
𝑛 x 𝑚 o'lchamli matritsalarning eng katta tartibli minori esa matritsaning eng kichik o'lchamli tomoniga teng bo'ladi. Ya'ni, agar matritsa n x m o'lchamli bo'lsa (n > m), u holda eng katta tartibli minori m ga teng bo'ladi.
Matritsa rangini hisoblash usuli esa matritsani echish, echim olish va echim olish jarayonida o'zgaruvchilarni hisoblashdan iborat. Echish jarayonida o'zgaruvchilar soni bir qator ustunning tartib raqamiga teng bo'ladi. Echim olish jarayonida esa nolga teng elementlardan tashqari elementlar soni hisoblanadi. Echim olish natijasidagi elementlarni qatorlar va ustunlar orqali to'plab, rang soni aniqlanadi.
13. 𝑛 ta elementdan 𝑘 tadan guruhlashlar soni 𝐶(𝑛, 𝑘) ga tengdir.

Tartibli minorlar sonini topish formulasi:

𝐶(𝑛, 𝑘) = 𝑛! / (𝑘!(𝑛 - 𝑘)!)

Bu formulada, 𝑛! 𝑛 faktorialini ifodalaydi (𝑛! = 𝑛 * (𝑛 - 1) * (𝑛 - 2) * ... * 2 * 1).

Matritsa rangini topish formulasi:

Matritsaning rangi, matritsadagi ba'zi ustunlar yoki qatorlar orasida mustaqil ustunlar sonidir. Rangni topish uchun qaysi metodlardan foydalanish mumkin, lekin eng mashhur metoddan biri Gauss yo'llanmasi metodidir.

Gauss yo'llanmasi metodiga asosan matritsani echib, eng yuqori sol tomondagi olchamli ustun yoki qatorlar ustunlardan qo'lib ketadi va matritsani to'g'ridan-to'g'ri to'qimachilik holatiga keltirib chiqaradi. Shuningdek, qolgan ustunlar va qatorlar orasidagi boshagan eng yuqori olchamli ustun yoki qatorlarni e'lon qiladi.

Matritsaning rangini topish formulasi:

Rang = Mustaqil ustunlar soni.

14. Oʻrab turuvchi minorlar usulida mаtritsа rаngini topish algoritmini yozing.

Mаtritsа rаngini qanday xossalarini bilasiz?
O'rab turuvchi minorlar usulida matritsa rangini topish uchun bir algoritmni quyidagicha yozish mumkin:

Kirish sifatida n x m o'lchamdagi matritsaning elementlarini o'z ichiga oluvchi bir matritsa quramiz.

Matritsa elementlarini nisbi tartibda saralab olamiz, ya'ni birinchi satrning eng kichik elementi birinchi tartib raqami bo'ladi.
Matritsaning rangini hisoblash uchun bir o'zgaruvchilar sonini 0 ga tenglaymiz.
Matritsaning har bir qatorini (i) alohida e'lon qilamiz.
Har bir qatordan boshlanib, qatordan kichikroq tartib raqamli elementlarni tekshiramiz. Agar boshlanish elementi 0 ga teng bo'lsa, uning rangini 0 ga o'zlashtiramiz va qatorni o'tkazamiz.
Agar boshlanish elementi 0 dan farqli bo'lsa, shu qatordan boshlab keyingi barcha qatorlardagi (i+1 dan n gacha) birinchi tartib raqamli elementlarni tekshirib, ularni katta tartib raqamlarini boshqa tartib raqamlariga ayiramiz. Katta tartib raqamlarini boshqa tartib raqamlariga ayirishda, ularning koefitsiyentlari orqali, elementlarni o'zaro qo'shib, boshlanish elementiga ko'paytirib, boshqa tartib raqamlarni 0 ga o'zlashtiramiz.
Rangni 1 ga oshiramiz va quyidagi qatordan o'tishimiz uchun i ga 1 qo'shamiz.
Qadam 4-7 ni n marta takrorlaymiz, shuningdek, rangni hisoblash uchun har bir qatorning tomonidan o'tkaziladigan takrorlanuvchi amallarni takrorlaymiz.
Rang natijasini o'zgaruvchilar sonida saqlab olamiz.
Matritsa rangi - bu matritsa elementlari orasida bo'sh elementlarning mavjudligini bildiradi. Matritsa rangi quyidagi xossalardan bir yoki bir nechta bo'lishi mumkin:

Matritsaning barcha qatorlarida 0 bo'lmagan elementlar mavjud bo'lsa, matritsaning rangi o'zgaruvchilar soniga teng bo'ladi.

Matritsaning barcha qatorlarida 0 bo'lmagan elementlar mavjud bo'lmasa, matritsaning rangi o'zgaruvchilar sonidan kamroq bo'ladi
15. Bazis minor deb nimaga aytiladi? Bazis satr va bazis ustun ta’riflarini yozing.
Bazis minor, dasturlash sohasida kodlar yozishda ishlatiladigan o'zgaruvchilar, funksiyalar yoki obyektlarni ifodalash uchun ishlatiladi. Bu minor, bir dastur ichidagi boshqa major (asosiy) komponentlardan biri hisoblanadi. Major (asosiy) komponentlar esa dastur yoki tizimning asosiy funktsionalligini bajaradi.

Bazis minor deb nomlangan bir o'zgaruvchining qiymati boshlang'ich holatda tuziladi va dastur davomida o'zgartirilishi mumkin. Bu minor, qo'shimcha ma'lumotlarni saqlash uchun yoki amaliyotni o'rniga keladigan qiymatlarni saqlash uchun ishlatiladi.

Bazis satr (row) tushunchasi, ma'lumotlar bazasida ma'lum bir obyekt (qator) uchun reservlangan yozuvning to'plamini anglatadi. Odatda, har bir bitta qatorning identifikatsiya qilish uchun unik identifikator (ID) bo'ladi. Shuningdek, bazis ustun (column) tushunchasi esa ma'lumotlar bazasida ma'lum bir xususiyat (ustun) uchun reservlangan yozuvning to'plamini anglatadi. Ustunlar, ma'lumotlar bazasidagi ma'lumotlar turi (data type) va qoidalariga asosan tuziladi. Misol uchun, bir mahsulotlar bazasida "nomi", "narxi", "sotuv miqdori" kabi ustunlar bo'lishi mumkin.

Bazis satrlari va ustunlari, ma'lumotlarni jadval shaklida tashkil etishda va ma'lumotlar bazasidagi ma'lumotlar ustunlari va qatorlarida saqlanishda kritik ahamiyatga ega bo'ladi.

16. Determinanti nolga teng bo‘lgan matritsa qanday nomlanadi? Determinantning
nolga teng bo‘lishining yetarlilik sharti haqidagi teoremani yozing
_{­­­­­Determinanti} nolga teng bo'lgan matritsa "nol matritsa" deb nomlanadi. Nol matritsa, barcha elementlari nolga teng bo'lgan kvadrat matritsadur.

Determinantning nolga teng bo'lishining yetarlilik sharti haqidagi teorema "Cramerning teoremasi" deb nomlanadi. U quyidagicha ifodalangan:

Agar A matritsa determinantining qiymati |A| ≠ 0 bo'lsa, A matritsani tengsizlik sistemasini echish uchun faollashtirish formulalarini yechish uchun yordam beradi. Bu yordam bilan har bir tengsizlik sistemasini yechish uchun ma'lumotlar ro'yxati olish mumkin.

Cramerning teoremasi quyidagi ko'rinishda ifodalangan:

Agar A matritsa determinantining qiymati |A| ≠ 0 bo'lsa, quyidagi tengsizlik sistemasini yechish formulalari mavjud:

x₁ = |A₁| / |A|, x₂ = |A₂| / |A|, ..., xn = |An| / |A|,

bu yerda x₁, x₂, ..., xn - tengsizlik sistemasining barcha n aniqlangan x-ga mos keladigan natijalari bo'lgan o'zgaruvchilar, A₁, A₂, ..., An esa A matritsadan x-ning mos keladigan ko'ordinatalarini olish uchun kiritilgan matritsalardir. |A₁|, |A₂|, ..., |An| - mos keladigan x-ning ko'ordinatalarini olish uchun mos keladigan koeffitsient matritsalardir, |A| esa A matritsani determinantini ifodalaydi.

Bu formulalar yordamida, determinantning nolga teng bo'lishining yetarlilik sharti asosida tengsizlik sistemasini yechish mumkin.

17. Matritsaga qo‘shma matritsa qanday tuziladi? Tеskаri mаtritsа tа’rifini yozing.
Qanday matritsa uchun teskari matritsa mavjud bo‘ladi?
Matritsaga qo'shma (yoki to'plam) matritsa, elementlari uchun matritsalarning bir to'plami sifatida tanlanadi. Agar A matritsa bo'lsa, unda A = [a_ij] shaklida ifodalangan bo'ladi, a_ij esa matritsaning i-tinchi qatordagi j-tinchi elementi ni ifodalaydi.

Teskari matritsa (ham Teskari matritsa yoki Teskari matritsa deb ataladi) bir matritsa A uchun ma'lumotlardan foydalanilarak hosil qilingan matritsa bo'ladi. Teskari matritsaning elementlari boshqa matritsadagi mos elementlarning qiymatlari bilan almashtirilgan shaklda ifodalangan bo'ladi.

Agar A = [a_ij] matritsa bo'lsa, undagi teskari matritsa A^T (hozirda ikkilamchi darajadagi teskari matritsa) quyidagi tartibda aniqlanadi:

A^T = [b_ij]

Bu yerda b_ij teskari matritsaning i-tinchi qatordagi j-tinchi elementi ni ifodalaydi va b_ij = a_ji.

Teskari matritsa asosan matritsaning ust diagonali bo'yicha o'zaro almashtirilgan elementlardan iborat bo'ladi. Boshqa so'zlarda, A matritsaning i-tinchi qatordagi j-tinchi elementi teskarisi A^T matritsaning j-tinchi qatordagi i-tinchi elementiga teng bo'ladi.

Teskari matritsalar qo'shma matritsa operatsiyalarini amalga oshirishda keng qo'llaniladi. Ularning umumiy xususiyatlari va ko'rsatmalari mavjud bo'lib, bu ko'rsatmalarda matritsaning ust diagonali bo'yicha aks ettirilganligi kuzatiladi

18. Хоs vа хоsmаs mаtritsаlаrga ta’rif bering. Tеskаri mаtritsа mаvjudligining
zаruriy vа yеtаrli shаrti haqidagi teooremani yozing. Teskari matritsani topish
formulasi qanday?
Hos va hosmas matritsalarga quyidagi ta'riflar beriladi:

Hos matritsa: Matritsaning ust diagonali bo'yicha elementlarining hammasi 0 bo'lgan matritsa hos matritsa deb ataladi. Ya'ni, agar A matritsa bo'lsa, unda a_ij = 0, har bir i = j (ust diagonaldagi elementlar) uchun.

Hosmas matritsa: Matritsaning ust diagonali bo'yicha elementlarining hammasi 0 bo'lmagan matritsa hosmas matritsa deb ataladi. Ya'ni, agar A matritsa bo'lsa, unda kamida bitta i = j (ust diagonaldagi element) uchun a_ij ≠ 0 bo'ladi.

Teskari matritsa mavjudligining zaruriy va yetarli sharti quyidagicha ifodalangan:

Teskari matritsaning mavjudligi uchun zarur bo'lgan shart: Teskari matritsa, faqat kvadrat matritsalar (yani, qator va ustunlar soni bir xil bo'lgan matritsalar) uchun mavjud bo'ladi.

Teskari matritsaning yetarli sharti: Matritsaning barcha elementlari mavjud bo'lgan bo'lishi kerak. Bu deganda, matritsaning barcha elementlarini aniqlash uchun matritsaning qatorlar va ustunlar soni bir xil bo'lishi yetarli shartdir.

Teskari matritsaning topilish formulasi quyidagicha:

Agar A matritsa bo'lsa, undagi teskari matritsa A^T (transpozitsiya) bilan topiladi. Boshqa so'zlar bilan, teskari matritsaning i-tinchi qatordagi j-tinchi elementi teskarisi A^T matritsaning j-tinchi qatordagi i-tinchi elementiga teng bo'ladi. Ya'ni, b_ij = a_ji.

Shunday qilib, teskari matritsa A^T ni topish formulasi bular bo'lib, A matritsaning elementlarini boshqarish orqali topiladi

19. Ekvivаlеnt аlmаshtirishlаr yordаmidа tеskаri mаtritsаni hisоblаsh algoritmini

yozing. Teskari matritsaning asosiy xossalarini yozing.
Teskari matritsaning asosiy xossalarini yozishdan oldin, bir matritsani boshqa bir matritsaga ekvivalent almashtirishlar yordamida aylantirish uchun bir algoritma yozamiz. Bu algoritma quyidagicha ishlaydi:

Teskari matritsaning olami (n) va qatorlar sonini (m) aniqlang.

Yangi bo'sh matriks (n x m) yarating va uning barcha elementlarini 0 ga tenglashtiring. Bu yangi matritsa ekvivalent almashtirish natijasini olish uchun xizmat qiladi.
Teskari matritsaning birinchi qatoridan boshlab oxirgi qatoriga qarab yurishni boshlang.
Har bir qator uchun quyidagi ishlar to'g'rilanadi:
Qatordan olingan qatorni yangi matritsaga kiritish uchun, yangi matritsning teng qatorini foydalaning.
Birinchi qatorning o'ng tarafidagi elementni oldindagi qatorga, birinchi qatorning chap tarafidagi elementni keyingi qatorga o'rnating.
Oxirgi qatorning chap tarafidagi elementni keyingi qatorga, oxirgi qatorning o'ng tarafidagi elementni oldindagi qatorga o'rnating.
Qatorni butunlay o'zgartirish uchun, qatordan olingan qatorni o'ng tarafidagi elementlar bilan birga yig'ing va teng qatorni yangi matritsaga kiritish uchun foydalaning.
Barcha qatorlar uchun 3-4-qadamlarni takrorlang.
Yangi matrits sizga ekvivalent almashtirish natijasini beradi.
Teskari matritsaning asosiy xossalari:

Matritsaning o'lchami (n x m) bo'ladi.

Matritsada n ta qator va m ta ustun mavjud bo'ladi.
Matrits elementlari umumiyda a[i][j] ko'rinishidagi qiymatlardan iborat bo'ladi, bu yerda i - qator indeksi va j - ustun indeksi.

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalari, chiziqli algebra yordamida ifodalangan tenglamalardir. Bu tenglamalar, bir yoki bir nechta chiziqli algebralarning yig'indisi sifatida ifodalangan bo'lib, odatda koeffitsiyentlar chiziqli sonlardir.

Birgalikdagi (unikal) sistemalar, har bir koeffitsiyentning faqatgina yechimga ega bo'lgan tenglamalardir. Bunda har bir tushuncha va o'zgaruvchilar uchun aniq qiymatlar topiladi.

Birgalikda bo'lmagan (unikalmas) sistemalar esa o'zgaruvchilar uchun qo'llanilgan o'zgaruvchilarning bir nechta qiymatlarini qabul qilmaydigan, ya'ni o'zgaruvchilar qiymatlari uchun aniq ta'riflanmagan tenglamalardir.

Aniq sistemalar, har bir o'zgaruvchi uchun faqatgina bir qiymatning mavjudligini anglatadigan tenglamalardir. Bu sistemaning yechimini berish uchun har bir o'zgaruvchiga aniq bir qiymat ta'riflanishi kerak.

Aniqmas sistemalar esa o'zgaruvchilarga tegishli tenglamalarning aniqligini anglatmaydigan, lekin o'zgaruvchilarni alohida o'zgaruvchilar bilan bog'lab turish imkoniyatini beruvchi tenglamalardir. Bu turlarda yechimni topish uchun bir nechta o'zgaruvchilar va tenglamalar birlashtirilishi kerak.

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalari matritsa shakli yoki vektor shaklida ifodalana oladi.

Matritsa shakli: Tenglamalar to'plami matritsalarni tashkil etadi. O'zgaruvchilarni stolblar, tenglamalarni esa qatorlar ko'rinishida joylashtirish mumkin. Misol uchun, quyidagi sistemani ko'ramiz:

x + y + z = 5
2x - 3y + z = 7
4x + 2y - 6z = -3 Uning matritsa shakli: | 1 1 1 | | x | | 5 |
| 2 -3 1 | * | y | = | 7 |
| 4 2 -6 | | z | | -3 | vektor shakli: Tenglamalar to'plami vektorlarni tashkil etadi. Har bir o'zgaruvchi va tenglama bir vektorga mos keladi. Misol uchun, yuqoridagi tenglamalar sistemani quyidagi ko'rinishda ifodalash mumkin:
(x, y, z) = (5, 3, 1)

21. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalari yechimi, sistemadagi o'zgaruvchilarning qiymatlarini topish jarayonidir. Bunda yechim, barcha tenglamalarning bir vaqtning o'zida bajariladigan qiymatlar to'plamini anglatadi.

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini yechish jarayonida, sistemadagi tenglamalardan foydalaniladi va o'zgaruvchilarning qiymatlarini aniqlashga harakat qilinadi. Yechimning mavjudligi yoki mavjud bo'lmaganligi, tenglamalar sistemasining ko'rsatuvlari va koeffitsiyentlari bilan bog'liq bo'ladi.
Yechimning mavjudligini aniqlash uchun muhim nuqtalar, sistemadagi o'zgaruvchilar sonining unikalmasligi, tenglamalar orasidagi o'zaro bog'lanishlar, koeffitsiyentlar tomonidan belgilangan chegaralar, va tenglama sistemasi to'g'ri yechimni qabul qiladigan qiymatlar mavjudligini tekshirishdan iborat bo'ladi. Yechimning mavjud bo'lishi esa, barcha tenglamalar uchun aniqlikni va to'g'ri qiymatlarni topishdan iborat bo'ladi.

22. Chiziqli tenglamalar sistemasining yechimi mavjudligini zaruriylik va yetarlilik shartlari haqidagi Kroneker-Kapelli teoremasi yozing.

Kroneker-Kapelli teoremasi, bir chiziqli tenglama sistemasining yechimini topish uchun zaruriylik va yetarlilik shartlarini taqdim etadi. Teoremaning yozilishi quyidagicha:
Bir chiziqli tenglama sistemasining yechimi mavjud bo'ladi, agar quyidagi zaruriylik va yetarlilik shartlar bajarilsa:

1. 
   Zaruriylik sharti: Chiziqli tenglama sistemasining kofitsiyent matritsasi (A) va tenglik matritsasi (b)ning o'lchamlari bir xil bo'lsin. Ya'ni, A matritsasi n x m o'lchamli bo'lsa va b vektori n x 1 o'lchamli bo'lsa, n = m bo'lishi kerak.
   
2. 
   Yetarlilik sharti: Chiziqli tenglama sistemasining kofitsiyent matritsasi (A)ning rangi, tenglik matritsasi (b)ning rangiga teng bo'lishi kerak. Ya'ni, A va b matritsalarning ranglari bir xil bo'lishi kerak.
   

Agar yuqorida keltirilgan zaruriylik va yetarlilik shartlar bajarilsa, shuningdek, chiziqli tenglama sistemasining determinanti 0 ga teng bo'lmagan holda, sistemasning faqatgina bir yechimi mavjud bo'ladi.
Ushbu teorema, chiziqli tenglama sistemasini yechish uchun zaruriy va yetarli shartlarni ta'minlayan bir natija beradi.
23. Chiziqli tеnglamalar sistеmasini Kramеr usulida yеchish algoritmini yozing. Δ=0 bo‘lsa, Kramеr usulidan foydalanib, yechimlarni qanday aniqlash mumkin?
Kramer usulida chiziqli tenglamalar sistemasini yechish algoritmi quyidagi tartibda amalga oshiriladi:

1. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasini quyidagi ko'rinishda ifodalash mumkin: Ax + By = C Dx + Ey = F
   
2. 
   Ushbu sistemasning determinanti Delta (Δ) quyidagi formuladan hisoblanadi: Δ = AE - BD
   
3. 
   Determinantning qiymati Δ ≠ 0 bo'lsa, yani chiziqli tenglamalar sistemasining yechimlari (x, y) mavjud bo'ladi va ular quyidagi formulalar orqali topiladi: x = (CE - BF) / Δ y = (AF - CD) / Δ
   
4. 
   Δ = 0 bo'lsa, ya'ni determinantning qiymati 0 ga teng bo'lsa, chiziqli tenglamalar sistemasining yechimlari aniqlanmaydi. Bu hol quyidagi ikki variantga bo'lishi mumkin: a) Sistemaga noaniq yechim bo'lishi mumkin. Bu, x va y o'zgaruvchilarning qiymatlari uchun belgilangan shartlarni bajarish orqali aniqlanishi mumkin. b) Sistemaga infiniti yechimlar bo'lishi mumkin. Bu hol, barcha x va y qiymatlari uchun to'g'ri keluvchi ifodalar bo'lishi bilan belgilanadi.
   

Shunday qilib, Δ = 0 bo'lsa, Kramеr usulidan foydalanib chiziqli tenglamalar sistemasining yechimlarini aniqlash imkonsiz bo'lishi mumkin
24. Chiziqli аlgеbrаik tеnglаmаlаr sistеmаsini yеchishning teskari mаtritsа usulini tushuntiring.
Chiziqli algebrayik tenglamalar sistemasini teskari matriks usuli (also known as Gauss-Jordan elimination) orqali yechishning asosiy tartibi quyidagicha bo'ladi:

1. 
   Chiziqli algebrayik tenglamalar sistemasini quyidagi ko'rinishda ifodalash mumkin: A * X = B
   

Bu yerda A matritsi n x n o'lchamdagi matrits, X o'lchamdagi n x 1 o'lchamli x o'zgaruvchilar vektoriga ega bo'lgan vektor, B esa n x 1 o'lchamli b vektor.

2. 
   Asosiy qadam - Teskari matriksni tuzish: Chiziqli tenglamalar sistemasini matritsal ko'rinishga o'tkazish uchun teskari matritsa tuziladi. Bu uchun A matritsi bilan b vektori yana bir matritsga bog'langan matrits hosil qilinadi, ya'ni [A | B] ko'rinishidagi matrits tuziladi.
   
3. 
   Teskari matriksni o'lchamli ko'rsatkich bilan normallashtirish: Teskari matriksni to'g'ridan-to'g'ri katta to'qimachilikka o'tkazish uchun matritsning birinchi ustunining birinchi elementini 1 ga o'zgartirish operatsiyasi amalga oshiriladi. Buning uchun birinchi ustun (s)ni birinchi elementini (a11) normallashtirish operatsiyasi bilan almashtirib olish mumkin.
   
4. 
   Teskari matriksning boshqa ustunlarini normallashtirish: Birinchi ustun (s)ning birinchi elementini 1 ga o'zgartirgan so'ng, qolgan ustunlarni normallashtirish uchun birinchi ustundagi birinchi elementni qoldan o'zgartirib yana birinchi ustundagi birinchi elementga ko'paytirish va qolgan ustunlardan ayirib tashlash operatsiyasi amalga oshiriladi.
   
5. 
   Teskari matriksning chap tomonidagi yorug'likni normallashtirish: Teskari matriksning ustundan keyingi qatorlari normallashtirilganidan so'ng, keyingi ustunlarning birinchi elementlarini normallashtirish uchun birinchi ustundan keyingi qatordan o'zgartirib yana birinchi ustundagi birinchi elementga ko'paytirish va keyingi ustunlardan ayirib tashlash operatsiyasi amalga oshiriladi.
   
6. 
   Normallashtirilgan matriks to'plamini topish: Normallashtirilgan teskari matriksning hammasi normallashtirilgan bo'lgandan so'ng, normallashtirilgan matritsning yechimlari to'plami topiladi.
   
7. 
   Teskari matriksdan o'rashiy matriksni ajratish: Normallashtirilgan matritsdan teskari matriksdan o'rashiy matriks ajratiladi va bu matriksning birinchi o'lchamli ustuni yechimlar to'plamini beradi.
   

Shunday qilib, teskari matriks usuli yordamida chiziqli algebrayik tenglamalar sistemasini yechish uchun yuqoridagi tartibni amalga oshirish kerak.
25. Chiziqli аlgеbrаik tеnglаmаlаr sistеmаsini yеchishning Gаuss usulini tushuntiring.
Gаuss usuli yoki Gаuss eliminirovkаsi, chiziqli аlgebrаik tеnglаmаlаr sistеmаsini hаll qilishning bir usuli hisoblanadi. Bu usul orqali tizimli mаtni nolga olib, nol ostidа yеr аlаdigan уеchimlаr sifаtida kеltiriladi.
Gаuss usulining asosiy qadam-laridan biri, mаtni gаuss koordinаtаlаsh rеja ko'rinishidа ifodа qilishdir. Buning uchun barcha tenglаmаlаr оrtidagi koеffitsiyеntlаr birlashtiriladi vе bаzi qatorlаr о'chirilib tashlanаdi. Shu bilan bir qator nolga olib, mаtni nol ostidа yеr аlаdigan уеchimlаr sifаtida keltiriladi.
Gаuss usulining ikkinchi qadami, qаtimаvii ishlar ko'plikka olib, natijadа olinаdigan yеchimlаr sifаtida keltiriladi. Bunda joriy qatordan quyidagicha o'tiladi: qatori boshqa qatorlаr bilan kеngaytirish, ularning birinchi еlеmеntini o'zichiga қаtimаvii ko'paytirish vа undаn joriy qatordan ayirmoq. Ushbu qadаmdаn so'ng, undаgi о'zgаrishlаrniki har bir qatorda kеyin қаtilmоқ vа mаtni nol ostidа yеr аlаdigan уеchimlаr sifаtida keltirish mumkin.
Gаuss usuli joriy qatori jорlamа qatordan, yеchimlаrning bitta yеrini va undаgi hаmmа tеnglаmаlаrgа tushungandа hаmnаrа қаtilmоқ bilan ham ishlaydi. Agar tеnglаmаlаr sistеmаsi bir yechimga muhim bo'lsa, undаgi qiymаtlаr uchun dоlzarblikdа қаtilmоқ қаpisi ta'qiqlanadi. Shu bilan, Gаuss usuli о'rniga chiziqli аlgebrаik tеnglаmаlаr sistеmаsidа tushuntirilgan уеchimlаrni tаplаsh usulidan fоydаlаnib tеnglаmаlаr sistеmasini yеchish mumkin.

26.Chiziqli аlgеbrаik tеnglаmаlаr sistеmаsini yеchishning Gаuss-Jоrdаn usulini tushuntiring

Gauss-Jordan usuli, lineyarni (matritsani) o'zgartirmasdan yechishning bir usulidir. Ushbu usul orqali lineyarni to'g'ridan to'g'ri tartiblangan qaytishi ko'p qo'llaniladi va uning yechimlarini topishga imkon beradi. Chiziqli algebrayik tenglamalar sistemasini Gauss-Jordan usuli orqali yechish uchun quyidagi qadam-lar to'g'ri keladi:

1. 
   Chiziqli algebrayik tenglamalar sistemasini quyidagi ko'rinishda yozing:
   

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂ ... aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + ... + aₘₙxₙ = bₘ
Bu yerda aᵢⱼ matritsani ifodalaydi, xⱼ o'zgaruvchilarni ifodalaydi, va bᵢ raqamlar to'plami ifodalaydi.

2. 
   Matritsa va b tomonlarni yonlarni moslashtirish uchun bir qator ustunlarni o'zgartiring. Bunda, bir ustun ustidagi raqamlar berilgan ustun bilan o'rnalashtiriladi, misol uchun, b₁ va a₁₁ orasidagi matritsa ifodalari o'zgartiriladi. Buning natijasida, birinchi ustunning birinchi elementi 1 ga tenglashadi (a₁₁ = 1) va b₁ elementi esa o'zgartirilgan qiymatga ega bo'ladi.
   
3. 
   Quyidagi qatorlar ustun ustidagi elementni 0 ga tenglash uchun kerak bo'lgan operatsiyalarni bajarish kerak. Bunda birinchi qatordan keyingi qatorga a₁₁ elementini ko'paytiring va natijani birinchi qatordan ayiring. Buning natijasida birinchi qatorning boshqa elementlari 0 ga tenglashadi va ularning birinchi elementi to'g'ri saqlanadi.
   
4. 
   Shu jarayonda, 2-qatorga qo'shimcha amal bajarib, 2-qatorning birinchi elementini 1 ga tenglashtirish uchun birinchi qatordan keyingi qatorni ayiring.
   
5. 
   Qadam 3 va 4-ni to'xtating, va 3-qatorga qo'shimcha amal bajarib, 3-qatorning birinchi elementini 1 ga tenglashtirish uchun birinchi va ikkinchi qatorlardan foydalaning.
   
6. 
   Bu jarayonni matritsaning oxirgi qatoriga kelib chiqqanligacha davom eting.
   
7. 
   Oxirgi qatorni oxirgi birinchi elementni 1 ga tenglashtirish uchun oxirgi birinchi qator bilan ishlang.
   
8. 
   Matritsaning yonlari ko'rsatilgan bo'lsa, ushbu yangi matritsaning chap tomonini o'q bilan taqsimlangan elementlari yechimlari hisoblash orqali xₖ o'zgaruvchilarini topishingiz mumkin.
   

Bu usul orqali lineyarni (matritsani) o'zgartirmasdan yechishingiz mumkin va natijada tenglamalar sistemasining yechimlarini topishingiz mumkin.

27. 
    Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining notrivial yechimi mavjudlik sharti haqidagi teoremani bilmasam ham, sizga chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi yechimlarining xossalari haqida umumiy ma'lumot berishim mumkin.
    

Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistema yechimlari, o'zgaruvchanlar uchun xususiy bo'lgan quyidagi xossalarga ega bo'lishi mumkin:

1. 
   Uch xil yechim turlari: Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasining yechimlari uch xil turga bo'lishi mumkin: hech yechim (masalan, bir-birini qo'llab-quvvatlamaydigan tenglamalar), yagona yechim (masalan, (0,0) nuqtasi bo'lgan to'g'ri chiziq) yoki ko'p yechimli (masalan, doimiy chiziq, parabola yoki sinusoiddan iborat).
   
2. 
   O'ziga xosliq: Har bir chiziqli bir jinsli tenglamalar sistema o'ziga xoslikka ega bo'lishi mumkin. Uning parametrlari, ko'ordinatalar, tenglamalarining ko'rsatkichlari va chiziqning shakli va o'lchami o'ziga xoslikka olib keladi. Bu xossalarni topish uchun, boshqa chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemalariga qaraganda barcha o'zgaruvchanlarni taqqoslash va tahlil qilish kerak.
   
3. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasi yechimining tartiblashishi: Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasining yechimi doimiy yoki yolg'onchilik (chiziqda kesishishlar yo'q) bo'lishi mumkin. Yechimlar tartiblangan holatda, chiziqning uzunligi, o'rta nuktasi, boshlang'ich nuqta va boshqa xossalarga ega bo'lishi mumkin.
   
4. 
   Simmetriya va qurilmalar: Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasining yechimlari simmetrik bo'lishi mumkin. Bu simmetriya o'zgaruvchanlarning almashtirish, chiziqdagi simmetriya o'zgarishlariga to'g'ri keladi. Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi uchun qurilmalar yechimlarini topishda yordam berishi mumkin.
   

Bu yechimlar haqida umumiy ma'lumot berish uchun, chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemalarini taqqoslash, ularning grafiklarini yarating va ularning o'zgaruvchanlariga ta'sir etib kelishni sinab ko'ring. Bu sizga chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemalarining yechimlarini va ulardagi xossalarni tushunishga yordam beradi.

28. 
    Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari sistemi, o'zining barcha yechimlarini o'z ichiga olgan eng kichik yechimlar to'plami sifatida tavsiflanadi. Bu sistemning fundamental yechimlari, barcha yechimlarni topish va uning orqali asosiy yechimlar to'plamini yaratish uchun kerak bo'ladigan asosiy o'lchamli ifodalarni ifodalaydi.
    

Bir jinsli sistemaning fundamental yechimlari sistemasini qurish uchun quyidagi algoritmni qo'llashingiz mumkin:

1. 
   Berilgan bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini ifodalaymiz: a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂ ... aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + ... + aₘₙxₙ = bₘ
   
2. 
   Sistemadagi tenglamalardan matritsaning koeffitsientlarini olib, o'lchamli matritsani tuzamiz: A = [[a₁₁, a₁₂, ..., a₁ₙ], [a₂₁, a₂₂, ..., a₂ₙ], ... [aₘ₁, aₘ₂, ..., aₘₙ]]
   
3. 
   Matritsani barcha tenglamalarni ifodalaydigan b matritsi bilan birga birlashtiramiz: [A | b] = [[a₁₁, a₁₂, ..., a₁ₙ, b₁], [a₂₁, a₂₂, ..., a₂ₙ, b₂], ... [aₘ₁, aₘ₂, ..., aₘₙ, bₘ]]
   
4. 
   Matritsaning elementar o'lchamli tahrirlar qilinmagan shaklini topish uchun elementar o'lchamli tahrir matritsini hosil qilamiz. Buning uchun quyidagi ikki elementar o'lchamli tahrir operatsiyalarni qo'llaymiz:
   
   • 
     S bir x ıchgandagi bir jinsli matritsani s ga ko'paytirish (s ≠ 0).
     
   • 
     i va j yechimlariga teng teng bo'lgan ikki xil qatorni almashtirish (i ≠ j).
     
5. 
   Matritsaning echimlari ustunidagi amalni amalga oshirib, echimlarni oddiy ustunlardagi yechimlarga ko'paytirib, o'sharlarni tartiblash va birinchi echimlarni birga 0 bo'lmagan qatordan ajratish jarayonini bajarib chiqamiz.
   
6. 
   Matritsaning echimlari ustunidagi asosiy yechimlar to'plamini olib, shu yechimlardan tashkil topgan matritsni hosil qilamiz. Bu matritsni fundamental yechimlari sistemasini bildiruvchi matrits sifatida qo'llaymiz.
   
7. 
   Fundamental yechimlari sistemasidagi yechimlarni ifodalash uchun hosil qilingan matritsdagi ustunlarni izlashimiz mumkin. Ustunlarni izlashda, ushbu ustunlardagi barcha echimlar 0 ga teng bo'lgan qatorlarni topishimiz kerak.
   

Ushbu algoritm yordamida siz bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari sistemasini qurishingiz mumkin.

29.Bir jinsli bo‘lmagan chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi deb nimaga aytiladi? Umumiy yechimning vektor shaklidagi formulasini yozing. Bir jinsli bo‘lmagan chiziqli tenglamalar sistemasining keltirilgan sistemasi deb nimaga aytiladi?

Bir jinsli bo'lmagan chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi, bu sistemadagi barcha tenglama yechimlarini ifodalovchi to'plamdir. Bu yechimlar sistemning har bir chiziqligini bajarish uchun zarur bo'lgan qiymatlardir.
Umumiy yechimning vektor shaklidagi formula quyidagicha ifodalaydi:
Ʃ F = m * a
Bu formulada Ʃ F jamlanmagan kuchlar yig'indisini ifodalayadi, m massa, va a ishning tezlanishini ifodalayadi.
Bir jinsli bo'lmagan chiziqli tenglamalar sistemasining keltirilgan sistemi, bu sistema uchun yechimlarni olish uchun asosiy formulalardan birini ifodalaydi. Bunday tizimda, kuchlar va o'zgarishsizlar keltirilgan bo'lishadi. Keltirilgan kuchlar yig'indisi (summasi) nolga teng bo'ladi.
Misol uchun, x yo'lini o'ziga bo'lgan bir jinsli bo'lmagan chiziqli tenglama tizimini olib ko'ramiz. Bu tizimda, kuchlar m yig'indisi va x yo'lini ifodalayadi. Tenglama formulasi quyidagicha bo'ladi:
F = m * a
Bu formulada F kuchni, m massa, va a ishning tezlanishini ifodalayadi.
Shunday qilib, bir jinsli bo'lmagan chiziqli tenglamalar sistemasining keltirilgan sistemasi, keltirilgan kuchlarning va o'zgarishsizlarining mavjud bo'lmadiği tizimni ifodalaydi
30. Ikki va uch o‘lchovli fazoda vektor deb nimaga aytiladi? Kollinear va komplanar vektorlar ta’rifini yozing. Vektorlarning kollinear va komplanarligini qanday tekshirish mumkin?
Ikki va uch o'lchovli fazoda, "vektor" bir yo'nalishni, ya'ni koordinatalarni ifodalaydigan obyektni ifodalaydi. Vektor, uzunlik va yo'nalish bilan birga beriladi. Uzunlik vektorni doimiy o'lchov bilan ifodalaydi, ya'ni uni boshqa vektorlardan tashqari obyektlardan ajratib bo'lmaydi.
Kollinear vektorlar: Ikki yoki undan ko'p vektor kollinear bo'lganda, ular bir biriga paralel bo'ladigan vektorlar deyiladi. Boshqa bir deyim bilan aytganda, ular bir birining ortiga tushgan yoki bir-biriga o'xshash yo'nalishda bo'ladigan vektorlar hisoblanadi. Misol uchun, uchta vektorlar, bir-biriga parallel bo'lganda kollinear bo'lar.
Komplanar vektorlar: Uch yoki undan ortiq vektor komplanar bo'lganda, ular bitta tekislikda joylashgan to'rtta yoki undan ko'p o'lchovli vektorga ega bo'ladigan vektorlar deyiladi. Boshqa bir deyim bilan aytganda, ular bir biriga to'g'ri qatnashgan bo'lganda komplanarlik holatida bo'ladilar. Misol uchun, to'rtta vektor, bir-biriga to'g'ri qatnashgan bo'lsa, ular komplanar bo'lar.
Kollinearlik va komplanarlikni tekshirish uchun, vektorlarning ortasida eng oddiy yo'li, ularning koordinatalarini solishtirishdir. Kollinearlik uchun, vektorlarning koordinatalarining har bir parigi o'rniga ulardan bitta koordinatni ikkinchisiga nisbatan o'zgartirilgan bo'lishi kerak. Agar barcha parilar nisbatan o'zgartirilsa, ular kollinear bo'ladi. Komplanarlikni tekshirish uchun, to'rtta yoki undan ko'p vektorning koordinatalarining determinanti hisoblanadi. Agar determinanti 0 ga teng bo'lsa, ular komplanar bo'ladi; aks holda, ular komplanar emas.
Soddalashtirilgan ko'plik matematik usullari, masalan, vektorlar orasidagi burchaklar, skalyar ko'paytirish, ortogonal ko'rsatkichlar va boshqa formulalar, vektorlarning kollinear va komplanarligini aniqlash uchun ham ishlatiladi.
31. Teng va qarama-qarshi vektorlar ta’rifini yozing. Vektorlar ustida chiziqli amallar deb nimaga aytiladi? Vektorlarni qo‘shishning qanday usullarini bilasiz?
Teng va qarama-qarshi vektorlar ta'rifini quyidagicha berish mumkin:

1. 
   Teng vektorlar: Ikki yoki undan ko'p vektor, ularga ham yoq, bo'lsa, ularning hamma tomonlari bir xil uzunlik va yo'nalishga ega bo'lgan vektorlar teng vektorlar deyiladi. Ya'ni, ikki vektorni bir-biriga solishtirganda, ularning uzunliklari va yo'nalishlari bir xil bo'lsa, ular teng vektorlar sifatida tan olinadi.
   
2. 
   Qarama-qarshi vektorlar: Ikki vektor, ularga ham yoq, bo'lsa, ularning tomonlari bir-biriga qarama-qarshi (o'xshash lekin yo'nalishlari qarshi) bo'lgan vektorlar qarama-qarshi vektorlar deyiladi. Ya'ni, ikki vektorni bir-biriga solishtirganda, ularning uzunliklari bir xil bo'lmasa ham, lekin yo'nalishlari qarama-qarshi (o'xshash lekin qarshi) bo'lsa, ular qarama-qarshi vektorlar sifatida tan olinadi.
   

Vektorlar ustida chiziqli amallar, vektorlarning qo'shish, ayirish, darajalash, skalyar ko'paytirish, vektorlarni orta arifmetigini olish, chiziqqa proyektsiya qilish kabi amallarni ifodalaydi.
Vektorlarni qo'shishning bir nechta usullari mavjud, ba'zilari:

1. 
   Paralelogram qo'shish qoidasi: Ikki vektorning boshlang'ich nuqtalarini biriga ulaymiz va ikki vektorning o'lchamlarini qo'shib, ulardan chiziq ustida yangi bir vektor hosil qilamiz.
   
2. 
   Elementlar bo'ylab qo'shish: Ikki vektorni x, y va z komponentlarini ajratib, bir-biriga mos komponentlarni qo'shib, yangi vektor hosil qilamiz.
   
3. 
   Geometrik usul: Agarda ikki vektorning chiziqdagi nuqtalari berilgan bo'lsa, ularni chiziq ustida joylashtirib, yangi vektor hosil qilamiz.
   
4. 
   Vektorlarni o'lchash va yo'nalishlarini hisoblash: Ikki vektorning o'lchamlarini va yo'nalishlarini hisoblab, yangi vektor hosil qilamiz.
   

Bu faqat ba'zi vektor qo'shish usullarini ifoda qiladi, boshqalar ham mavjud bo'lishi mumkin
32. Bazis vektorlar deb nimaga aytiladi? Chiziqli bog‘liq va chiziqli erkli vektorlar ta’rifini ayting. Fazoning o‘lchami deb nimaga aytiladi?
Bazis vektorlar, bir vektorlar to'plami orqali boshqa har qanday vektorlarni ifodalash uchun ishlatiladigan vektorlar to'plamidir.
Chiziqli bog‘liq vektorlar, bir boshlang‘ich nuqtadan boshqa barcha nuqlarga bo‘lgan barcha vektorlardir. Ya'ni, agar uchta vektorlar (v₁, v₂, v₃) olsin va ularning lineyni o‘rta o‘chig‘i bo‘lsin, shunday holatda har bir vektor (v) ko'rsatkichning yig'indisiga vektor qarashli ko'rsatkichning koordinatalari (a₁, a₂, a₃) orqali ifodalansin: v = a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃. Bu esa chiziqli bog‘liq vektorlarning boshqa vektorlar to'plamiga o‘g‘ri asoslangan holda ifodalashiga imkon beradi.
Chiziqli erkli vektorlar, esa o'zining kengligi to'g'risida barcha boshqa vektorlarni shakllantirish uchun ishlatiladigan vektorlar to'plamidir. Ya'ni, agar uchta vektorlar (v₁, v₂, v₃) olsin va ularning lineyni o‘rta o‘chig‘i bo‘lsin, shunday holatda har bir vektor (v) ko'rsatkichning yig'indisiga ko'rsatkichning koordinatalari (a₁, a₂, a₃) orqali ifodalansin: v = a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃. Bu esa chiziqli erkli vektorlarning boshqa vektorlar to'plamini shakllantirishga imkon beradi.
Fazoning o‘lchami esa bir vektor yoki vektorlar to'plamining uzunligini ifodalaydi. Uzunlikning ko‘rinishi esa kenglik, yuqori xatolar miqdorini taqqoslaydigan metrikaga bog‘liq bo‘ladi. Ko‘p ishlatiladigan uzunlik metriklaridan biri Euclidean uzunlik metriksidir, u holda vektorning uzunligi quyidagi formula orqali hisoblanadi: ||v|| = √(v₁² + v₂² + ... + vₙ²), bu yerda v₁, v₂, ..., vₙ - vektorning har bir komponenti. Ushbu formula asosida faza o'lchami hisoblanadi

33. 
    Tekislikda va uch o'lchovli fazoda vektorlarning skalyar ko'paytmasini topish formulalari, ta'rif va xossalarini yozing:
    

Skalyar ko'paytma, iki vektorning uzunliklarining ko'paytmasi bilan ifodalangan o'zgaruvchidir. Skalyar ko'paytma formulasi quyidagicha ifodalangan:
Dot(A, B) = |A| * |B| * cos(θ)
Bu formulada:

• 
  Dot(A, B) ikki vektor A va Bning skalyar ko'paytmasini ifodalaydi.
  
• 
  |A| vektor Aning uzunligini ifodalaydi.
  
• 
  |B| vektor Bning uzunligini ifodalaydi.
  
• 
  cos(θ) A va B orasidagi burchakning kosinusi hisoblanadi.
  

Skalyar ko'paytma, ikki vektorning doiralarini o'zaro qarshilik qiladigan jismlarini ifodalaydi. Natijada olish uchun, har bir vektorning uzunligini va ularning orasidagi burchakni bilishimiz kerak.

34. 
    Ikki vektorning vektor ko'paytmasi ta'rifini va xossalarini yozing:
    

Vektor ko'paytma, ikki vektorning o'zaro almashtirish jismini ifodalaydigan vektor hisoblanadi. Vektor ko'paytma formulasi quyidagicha:
Cross(A, B) = |A| * |B| * sin(θ) * n
Bu formulada:

• 
  Cross(A, B) ikki vektor A va Bning vektor ko'paytmasini ifodalaydi.
  
• 
  |A| vektor Aning uzunligini ifodalaydi.
  
• 
  |B| vektor Bning uzunligini ifodalaydi.
  
• 
  sin(θ) A va B orasidagi burchakning sinusini hisoblanadi.
  
• 
  n A va B doiralariga normal bo'lgan boshqa bir vektorni ifodalayadi.
  

Vektor ko'paytma, ikki vektorni o'zaro almashtirish jismini hisoblashda foydalaniladi. Ushbu almashtirish burchak bilan tashkil topgan doira yoki parallelogram shaklida bo'ladi. Vektor ko'paytmasi, almashtirishning to'g'ri tomonlarini ifodalaydi va barcha ikki vektorni normal tomondan o'tkazadi.

35. 
    Uchta vektorning aralash ko'paytmasi ta'rifini va xossalarini yozing:
    

Aralash ko'paytma, uchta vektorning o'zaro almashtirish jismini ifodalaydigan vektor hisoblanadi. Aralash ko'paytma formulasi quyidagicha:
Aralash(A, B, C) = Dot(A, Cross(B, C))
Bu formulada:

• 
  Aralash(A, B, C) uchta vektor A, B, va Cning aralash ko'paytmasini ifodalaydi.
  
• 
  Dot(A, Cross(B, C)) vektor Aning, vektor B va Cning vektor ko'paytmasi bilan skalyar ko'paytmasini ifodalaydi.
  

Uchta vektorning aralash ko'paytmasi, uchta vektor orasidagi paralelepipedning hajmini hisoblashda foydalaniladi. Uchta vektor bilan ifodalangan parallelepipedning bir orta tomoni bo'ladi. Aralash ko'paytma, uchta vektor tomonlari orasidagi hajmini ifodalaydi va ushbu hajmni bilishda skalyar va vektor ko'paytmalaridan foydalaniladi.

36. 
    n o'lchovli vektor, n elementdan iborat bo'lgan matematik qavramdir. Bunda har bir element bir o'lcham (raqam) bo'ladi. n o'lchovli vektorlar ustida chiziqli amallar, o'lchovli vektorlar bilan amalga oshiriladigan matematik amallardir. Bu amallar orqali vektorlarni qo'shish, ayirish, ko'paytirish, skalyar ko'paytma, norma hisoblash kabi amallar bajariladi.
    
37. 
    n o'lchovli arifmetik vektor fazo, n ta raqamdan iborat bo'lgan arifmetik ketma-ketlikdir. Boshqa so'z bilan aytganda, bu vektorni tarkibdagi elementlarning o'rta qiymatlaridan tashkil topgan ketma-ketlikdir. n o'lchovli arifmetik vektor fazoning turlari quyidagilardir:
    

• 
  Arifmetik o'rta: Elementlarning o'rta qiymati, ulardan har birining yig'indisining n ga bo'linishi bilan topiladi.
  
• 
  Arifmetik progressiya: Elementlar o'rtasida kattalashtirishning belgilangan qoidalariga rioya qiluvchi ketma-ketlik.
  

n o'lchovli vektorlarning skalyar ko'paytmasi, vektorning elementlarining ustun ko'paytmasini ifodalaydi. Skalyar ko'paytma quyidagicha hisoblanadi: ikki vektorning bir-biriga ortiqcha qiymatlarni elementlariga ko'paytmasi va ulardan hosil bo'lgan ko'paytmani yig'indisiga teng bo'ladi. Skalyar ko'paytma esa sonlar jamlanmasi hisoblanadi.

38. 
    n o'lchovli vektorning uzunligi, vektorni elementlarining kvadratlarining yig'indisi hisobidan topiladi. Uzunlikning formulasi quyidagicha beriladi:
    

||v|| = sqrt(v₁² + v₂² + ... + vₙ²)
Bu formulada v₁, v₂, ..., vₙ - vektorning elementlari bo'ladi.
Ortogonal vektorlar, ikki vektorning o'zaro gipotenuzini ifodalaydigan vektorlardir. Ya'ni, ularning skalyar ko'paytmasi nolga teng bo'ladi.
Ortonormal vektorlar, ortogonal vektorlar to'plamidir va har bir vektorning uzunligi 1 ga teng bo'ladi. Bu vektorlar bazasini hosil qilishda keng qo'llaniladi.

39. 
    Rn fazoning bazisi, n ta o'lchovli vektorlardan iborat bo'ladi. Ular orqali boshqa har qanday n o'lchovli vektorni ifodalash mumkin. Bu bazada har bir vektorning faqat bir o'lchamining qiymati 1 bo'ladi, qolgan o'lchamlar esa 0 ga teng bo'ladi.
    

Koshi-Bunyakovskiy (Cauchy-Schwarz) tengsizligi, vektorlarning skalyar ko'paytmasining uzunliklari va ularning orqali hisoblangan norma qiymatlari orasidagi chegaralar haqida aytadi. Ushbu tengsizlik quyidagicha ifodalaydi:
|v · w| ≤ ||v|| × ||w||
Bu formulada v va w vektorlardir, · skalyar ko'paytmani ifodalaydi, ||v|| vektorning uzunligini ifodalaydi.

40. 
    Chiziqli fazo, vektorlar ustida ishlovchi matematik qavramdir. Haqiqiy chiziqli fazo, ikki o'lchovli vektorning musbat qiymatlarga ega bo'lgan ketma-ketligidir. Kompleks chiziqli fazo esa, kompleks sonlarning qiymatlarga ega bo'lgan ketma-ketligidir.
    

Haqiqiy chiziqli fazo uchun 8 ta xossasi quyidagicha bo'ladi:

1. 
   Musbat qiymatlarga ega bo'ladi.
   
2. 
   Ketma-ketlik bilan ifodalaydi.
   
3. 
   Har bir qiymatga bir o'lcham beradi.
   
4. 
   Skalyar ko'paytmasiga o'zgaruvchanlik qilish imkoniyatiga ega.
   
5. 
   Qo'shish amaliga ega.
   
6. 
   Ayirish amaliga ega.
   
7. 
   Ko'paytirish amaliga ega.
   
8. 
   O'lchash amaliga ega.
   

41. 
    M - barcha 2x2 oʻlchamli matritsalar toʻplami chiziqli fazo tashkil qilishini isbotlang va uning bazisi va oʻlchamini toping.
    

Matritsalarni to'plami M 2x2 o'lchamli bo'lsa, chiziqli fazo tashkil qilish uchun uning bazisini topishimiz kerak. Matritsalarni chiziqli fazoga o'tkazish uchun ularning o'zaro tenglikni tekshirishimiz kerak:
M = {A | A - 2x2 o'lchamli matritsa}
Matritsalar orasidagi o'zaro tenglikni tekshirish uchun chiziqli fazo ustida yechim topishimiz mumkin. Matritsalar chiziqli fazoga o'tkazilgan bo'lsa, ularning koeffitsientlarining kompleks sonlar bo'lgan yechimi bo'ladi. Bunday yechim topish uchun eng oddiy usul matritsalarni chiziqli fazoga o'tkazish orqali topishdan iborat.
Matritsalar to'plamini M chiziqli fazoga o'tkazishni ko'rsatish uchun ikkita misol keltiraylik:
M = {A | A - 2x2 o'lchamli matritsa} A = [[1, 2], [3, 4]] va B = [[5, 6], [7, 8]]
A va B matritsalari chiziqli fazoga o'tkazilgan bo'lsa, ularning bazisini hosil qilish uchun M ni chiziqli fazoga o'tkazamiz:
M = span{A, B}
Shu yerda A va B matritsalari M to'plami uchun bazisni hosil qiladi.

42. 
    Chiziqli fazoning qism fazosi deb nimaga aytiladi? Evklid fazosi deb nimaga aytiladi?
    

Chiziqli fazoning qism fazosi, bir matritsaning normasi yoki uzunligi deb hisoblanadi. Chiziqli fazolarni yechimlashning bir usuli normani topishdir. Norma - vektorni uzunligini izlaydigan funksiya hisoblanadi.
Evklid fazosi, chiziqli fazoning maxsus turi hisoblanadi. Evklid fazo, bir vektorning Evklid normasi yoki uzunligi deb ham nomlanadi. Evklid normasi, vektorning elementlarining kvadratlarining yig'indisining ildizsini oladi:
||v|| = sqrt(v1^2 + v2^2 + ... + vn^2)

43. 
    Ortonormal basis deb nimaga aytiladi? Bazisni ortonormallashning G.Shmidt formulalarini yozing.
    

Ortonormal bazis, vektorlar to'plamining ikki xususiyati, ya'ni ortogonal va normirovannyi bazisning yig'indisidir. Ortonormal bazisning har bir vektori o'zaro ortogonal, shuningdek, ularning normasi 1 ga teng bo'lishi kerak.
Bazisni ortonormallashtirishning G.Shmidt formulalari orqali berilgan to'plamni ortonormallashtirish mumkin:
Berilgan {v1, v2, ..., vn} to'plamni ortonormallashtirish:

1. 
   u1 = v1 / ||v1||
   
2. 
   u2 = (v2 - proj(u1, v2)) / ||(v2 - proj(u1, v2))||
   
3. 
   u3 = (v3 - proj(u1, v3) - proj(u2, v3)) / ||(v3 - proj(u1, v3) - proj(u2, v3))|| ... n. un = (vn - proj(u1, vn) - proj(u2, vn) - ... - proj(un-1, vn)) / ||(vn - proj(u1, vn) - proj(u2, vn) - ... - proj(un-1, vn))||
   

Bu formulalar orqali berilgan to'plamni ortogonalizatsiya qilish va normirlash mumkin.

44. 
    Chiziqli operator deb nimaga aytiladi?
    

Chiziqli operator, chiziqli fazolar orqali ifodalangan hisoblash operatoridir. U o'ziga kelgan vektorni (masalan, matritsani) boshqa vektorlar bilan ko'paytiradi yoki ulardan ajratadi. Chiziqli operatorlar bir nechta algoritmik va hisoblash amallarida keng qo'llaniladi, masalan, matritsalar, vektorlar, tengliklarni topish va yechimlashda.

45. 
    Nol operator va birlik operator ta'riflarini yozing.
    

Nol operator, barcha elementlari nolga teng bo'lgan matritsa yoki vektor bilan ifodalangan operatordir. Nol operatori, barcha elementlarni nolga o'zgartiradi yoki ularni bekor qiladi. Nol operatori "0" belgisi bilan ifodalangan.
Misol uchun, 3x3 o'lchamli nol operatori quyidagicha ko'rinishga ega bo'ladi:
O = [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]] [ 1 0 ] [ 0 1 ]
Birlik operator (identitet operatori) esa, matritsaning yig'indisi bo'lgan elementlardan tashkil topgan matritsa yoki vektor bilan ifodalangan operatordir. Birlik operatori elementlarining barcha diagonal elementlari 1 ga teng bo'lgan matritsa yoki vektor hisoblanadi. Birlik operatori "I" belgisi bilan ifodalangan.
Misol uchun, 2x2 o'lchamli birlik operatori quyidagicha ko'rinishda bo'ladi:
I = [[1, 0], [0, 1]]
Birlik operatorining katta o'lchamli matritsalarda diagonal elementlarining hammasi 1 ga teng bo'ladi.

46. 
    Chiziqli operatorlar ustida arifmetik amallarni tushuntirib yozish uchun quyidagi amalga oshirishlarni ishlatamiz:
    

• 
  Qo'shish: