Chiziqli algebra fanidan nazariy savollar Mаtritsа tа’rifi asosiy tushunchalari. Mаtritsаlаrning o‘lchamlari. Teng matritsalar. Diagonal, skalyar va birlik matritsalar

(A - λI) |v> = 0. Natijada hosil bo'lgan |v> vektori xos vektor bo'ladi.

Chiziqli operatorning xarakteristik ko'phadi quyidagi ko'rinishda ifodalaydi:

• 
  Xos sonlari hamda xos vektorlari bo'lishi mumkin.
  
• 
  Xos sonlar kompleks sonlar bo'lishi mumkin.
  
• 
  Xos sonlar bir xil bo'lishi mumkin, ya'ni bir nechta o'ziga xos sonlar bo'lishi mumkin.
  
• 
  Xos vektorlar erkin (tushunsiz) va bitta ortiqcha ko'pincha bo'lishi mumkin.
  

49. 
    Chiziqli operatorga teskari operator deyishadi. Eng sodda chiziqli operatorning matritsasi identitet matritsasiga teng bo'ladi. Identitet matritsa o'tish matritsasi bilan bir xil ko'rinishga ega bo'ladi, ya'ni barcha elementlari diagonallarda 1 ga teng bo'lgan va boshqa elementlar esa 0 ga teng bo'lgan matritsa.
    

Identitet matritsaning quyidagi ko'rinishda bo'lishi mumkin:
cssCopy code [ 1 0 ] [ 0 1 ]
[ 1 0 ] [ 0 1 ]

50. 
    Kvadratik forma, o'zgaruvchilarning ikkita darajali elementlarini (quadratik) o'z ichiga olish uchun ishlatiladi. Kvadratik forma quyidagi ko'rinishda ifodalaydi:
    

scssCopy code
f(x) = ax^2 + bx + c f(x) = ax^2 + bx + c
Bu yerda a, b, va c sonlar parametrlar hisoblanadi, va x o'zgaruvchidir. a ga kvadratik koefitsiyent, b ga o'zgaruvchining birlamchi koefitsiyenti va c ga oddiy koefitsiyent deyiladi. Kvadratik formalar matematikda juda ko'p muhim o'rnini egallayadi va ularning bir qator muhim xususiyatlari va formulalari mavjud.
Kompleks kvadratik formalarning ko'rinishi esa quyidagicha bo'ladi:
scssCopy code
f(z) = az^2 + bz + c f(z) = az^2 + bz + c
Bu yerda z kompleks o'zgaruvchidir va a, b, va c kompleks sonlar parametrlar hisoblanadi. Haqiqiy kvadratik formalarning esa z o'zgaruvchisi haqiqiy sonlardan iborat bo'ladi.

51. 
    Ikki va uch noma'lumli kvadratik formalarning matritsaviy shakli:
    

Ikki noma'lumli kvadratik formula:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
Shu yerda A, B, C, D, E, va F - konstantalarga teng bo'lgan ma'lumotlar, x va y - noma'lum o'zgaruvchilar.
Matritsa shakli:
Q = | A B/2 | | B/2 C |
Uch noma'lumli kvadratik formula:
Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
Shu yerda A, B, C, D, E, F, G, H, I, va J - konstantalarga teng bo'lgan ma'lumotlar, x, y, va z - noma'lum o'zgaruvchilar.
Matritsa shakli:
Q = | A D/2 E/2 | | D/2 B F/2 | | E/2 F/2 C |

52. 
    Kvadratik formalar ustida chiziqli almashtirish bajarish haqidagi teorema:
    

Kvadratik formula: Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
Uning kanonik shakli: P(x - h)^2 + Q(y - k)^2 + R = 0
Kanoniylashtirish teoremasi: Har bir kvadratik formula, uchun bir kanoniylashtirish mavjud bo'ladi. Kanonik shaklda, x va y ga tegishli koordinata o'qining tenglamalariga aylantirilganligi mumkin. Kanoniylashtirish teoremasi, A, B, va C ni topishga yordam beradi.

53. 
    Kvadratik formaning normal ko'rinishi va signaturasi:
    

Kvadratik formaning normal ko'rinishi quyidagicha bo'ladi:
Q(x) = λ1x1^2 + λ2x2^2 + ... + λnxn^2
Bu yerda λ1, λ2, ..., λn - x1, x2, ..., xn o'zgaruvchilar bo'yicha o'ziga xos (iyrimiy) sonlar.
Kvadratik formaning signaturasi esa normal ko'rinishdagi musbat sonlar (λ > 0) va manfiy sonlar (λ < 0)ning ayrimlarining sonini ifodalaydi. Agar λ > 0 bo'lsa, uchun n o'zgaruvchilardan birining kvadrati (sintsenat ko'rsatkich) musbat bo'ladi. Agar λ < 0 bo'lsa, uchun n o'zgaruvchilardan birining kvadrati (sintsenat ko'rsatkich) manfiy bo'ladi.

54. 
    Kvadratik formaning musbat aniqlanganligi haqidagi teorema:
    

Kvadratik formula: Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
Agar A va C haqiqiy sonlar bo'lsa va B^2 - 4AC < 0 bo'lsa, u holda kvadratik formula musbat aniqlangan deb hisoblanadi.

55. 
    Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini oddiy iteratsiya va Zeydel usullari bilan yechish:
    

Oddiy iteratsiya:

1. 
   Tenglama sistemasini quyidagi ko'rinishga olib chiqamiz: Ax = b Bu yerda A - ko'ffitsiyentlar matritsi, x - noma'lum o'zgaruvchilar vektori, b - alohida b vektori.
   
2. 
   x^(0) ning biron bir bo'lagi (masalan, hamma qiymatlari nolga teng) bilan boshlang'ich x qiymatini aniqlaymiz.
   
3. 
   Quyidagi tartibda x^(k) qiymatlarini yangilaymiz: x^(k) = Bx^(k-1) + c Bu yerda B - nomsiz matritsa, c - nomsiz vektor.
   
4. 
   x^(k) ning to'g'ri qiymatini topish uchun quyidagi shartni tekshiramiz: ||x^(k) - x^(k-1)|| < epsilon Bu yerda epsilon - istalgan kichik son.
   
5. 
   Agar shart qanoatlantirilmasa, qadam 3-ga qaytib takrorlaymiz.
   
6. 
   x^(k) to'g'ri qiymatlarini topishda qo'llaniladigan to'lovlar soni belgilangan epsilon orqali aniqlanadi.
   

Zeydel usuli:

1. 
   Tenglama sistemasini quyidagi ko'rinishga olib chiqamiz: Ax = b Bu yerda A - ko'ffitsiyentlar matritsi, x - noma'lum o'zgaruvchilar vektori, b - alohida b vektori.
   
2. 
   x^(0) ning biron bir bo'lagi (masalan, hamma qiymatlari nolga teng) bilan boshlang'ich x qiymatini aniqlaymiz.
   
3. 
   Quyidagi tartibda x^(k) qiymatlarini yangilaymiz: x^(k)i = B1x^(k-1)i + B2x^(k-1)i+1 + ... + Bix^(k)i-1 + ... + Bnx^(k-1)n + ci Bu yerda Bi - i- tomonli kvadrat matritsalardan iborat.
   
4. 
   x^(k) ning to'g'ri qiymatini topish uchun quyidagi shartni tekshiramiz: ||x^(k) - x^(k-1)|| < epsilon Bu yerda epsilon - istalgan kichik son.
   
5. 
   Agar shart qanoatlantirilmasa, qadam 3-ga qaytib takrorlaymiz.
   
6. 
   x^(k) to'g'ri qiymatlarini topishda qo'llaniladigan to'lovlar soni belgilangan epsilon orqali aniqlanadi.
   

Taqribiy yechishda iteratsiya jarayonining yaqinlashish shartlari quyidagilardan iborat bo'ladi:

• 
  Qadam 4 (||x^(k) - x^(k-1)|| < epsilon) qanoatlantirilishi.
  
• 
  Matritsa A-ni normasi < 1 bo'lishi (||B|| < 1), oddiy iteratsiya uchun.
  
• 
  Matritsa A-ni tartiblanishi < 1 bo'lishi (||B1|| + ||B2|| + ... + ||Bn|| < 1), Zeydel usuli uchun.
  
• 
  Sistemaning konvergensiyasi va to'g'ri qiymatlarini topishga yaqinlashish uchun boshlang'ich taxminiy qiymatlari yaxshi aniqlanishi kerak.